针对您提出的“月底被公司辞退，失业登记可以立即申请吗，还是需要等到下个月申请”的问题，以下是我的详细解答：

首先，根据相关规定，用人单位在与劳动者终止或者解除劳动关系后，应当于15日内到受理其录用登记手续的公共就业人才服务机构办理失业（退工）登记手续。这意味着，一旦您与公司解除了劳动关系，公司有义务在15天内为您办理失业登记的相关手续。

对于您个人而言，在失业后，您可以立即（或尽快）到户籍所在地或常住地的县（市、区）、乡镇（街道）公共就业人才服务机构申报失业登记。申报时，您需要提交一些必要的材料，包括但不限于《就业创业证》（如果尚未办理，可以在申报时一并申请）、劳动者本人居民身份证原件及复印件、以及终止或者解除劳动合同的证明等。

关于您提到的“是否需要等到下个月申请”的问题，实际上并没有这样的限制。一旦您与公司解除了劳动关系，并且公司已经为您办理了失业（退工）登记手续（或者您已经自行申报了失业登记），您就可以开始享受相关的失业保险待遇（如果符合条件的话），而不需要等到下个月。

此外，我还想提醒您一点，失业登记和失业保险金的申领是两个不同的环节。失业登记是您作为失业人员的一个身份确认过程，而失业保险金的申领则是您根据失业保险的相关规定，向失业保险经办机构申请领取失业保险金的过程。根据规定，失业人员应在终止或解除劳动合同之日起60日内到受理其单位失业保险业务的经办机构申领失业保险金。因此，在您完成失业登记后，如果符合申领失业保险金的条件，记得在规定的时间内去申领哦。

希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。