家属在当事人不愿意上诉的情况下，仍可以通过以下法律途径维护权益或表达诉求：

1. 申请检察院抗诉
   根据《刑事诉讼法》第229条，若家属认为一审判决存在“事实认定错误、法律适用错误或量刑明显不当”等情形，可在收到判决书后5日内向检察院申请抗诉。需提交书面申请书，详细说明抗诉理由（如证据采信问题、量刑失衡等），并附相关证据材料。检察院审查后若认为符合抗诉条件，会向上一级法院提出抗诉，启动二审程序。

2. 通过律师与当事人沟通，尝试说服其上诉
   若当事人因情绪抵触或对法律程序不理解而拒绝上诉，家属可委托律师与其沟通。律师可从法律风险、上诉程序、量刑可能性等角度分析利弊（例如：死刑复核阶段仍有改判机会），帮助当事人理性决策。若当事人最终同意，需在10日上诉期内提交上诉状。

3. 申请死刑复核阶段的法律援助
   即使未上诉，案件仍会进入最高人民法院死刑复核程序。家属可委托律师在复核阶段提交法律意见书，重点论证量刑过重、存在从轻情节（如自首、立功、被害人过错等）或程序违法等问题，争取改判死缓或无期徒刑。

4. 关注当事人心理健康，避免非理性决定
   部分当事人可能因恐惧死刑或愧疚心理拒绝上诉，家属需通过心理疏导或社会支持（如宗教、亲友劝解）缓解其情绪，同时强调上诉是法定权利，放弃可能丧失改判机会。

关键提醒：

• 死刑案件上诉期仅10日，抗诉申请期仅5日，家属需尽快行动，避免超期丧失权利。
  
• 若当事人明确拒绝上诉且无抗诉理由，案件将进入复核程序，此时仍可通过律师提交意见影响结果。
  
• 家属可同步准备赔偿协商、被害人谅解书等材料，为复核阶段争取从轻情节提供支持。
  

如有进一步疑问或需具体操作指导，可直接向我咨询，我将结合案件细节提供针对性建议。