结论：开车不小心撞到学校门前的石墩，一般情况下不能直接向第三方索赔，但具体能否索赔及索赔对象需根据事故发生的具体情况来判断。以下从不同角度进行分析：
一、石墩的归属与管理责任
石墩属于学校财产：
- 如果石墩是学校设置并管理的，且学校在设置石墩时符合相关安全标准，没有过错，那么学校通常不承担赔偿责任。此时，驾驶员因自身驾驶不当导致的损失，一般需自行承担。
- 例外情况：如果学校设置石墩的位置存在安全隐患，如未设置警示标志、石墩设置过于隐蔽或不符合安全距离等，导致驾驶员在正常驾驶过程中难以预见并避免碰撞，那么学校可能因未尽到安全保障义务而承担部分或全部赔偿责任。
石墩属于市政设施：
- 如果石墩是市政部门设置并管理的，如道路隔离墩等，且市政部门在设置和管理过程中没有过错，那么驾驶员同样需自行承担损失。
- 例外情况：若市政部门在设置石墩时存在过错，如设置位置不当、未设置警示标志等，导致事故发生，市政部门可能需承担相应赔偿责任。
二、驾驶员的责任
- 驾驶员在驾驶过程中应尽到合理的注意义务，遵守交通规则，确保安全驾驶。如果因驾驶员的疏忽或违规驾驶导致碰撞石墩，那么驾驶员通常需自行承担损失。
- 特殊情况：如果事故是由于其他车辆或行人的过错导致的，如其他车辆突然变道、行人闯入道路等，且这些过错行为与驾驶员碰撞石墩有直接因果关系，那么驾驶员可能可以向有过错的第三方索赔。
三、保险理赔
- 如果驾驶员购买了车辆损失险等商业保险，且事故属于保险责任范围，那么驾驶员可以向保险公司申请理赔，以减轻自身经济损失。
- 理赔流程：驾驶员需及时报案、提供相关证据材料（如事故现场照片、交警认定书等），并按照保险公司的要求进行理赔申请。
四、建议与行动
- 立即报警并保护现场：事故发生后，驾驶员应立即报警并保护好现场，以便交警部门进行事故认定和责任划分。
- 收集证据材料：驾驶员应收集并保存好与事故相关的证据材料，如事故现场照片、视频、交警认定书、医疗记录等，以便后续索赔或理赔使用。
- 咨询专业律师：如果驾驶员对事故责任划分或索赔问题存在疑问，建议咨询专业律师，以便获得更具体、更专业的法律建议。
总结：开车不小心撞到学校门前的石墩能否索赔，需根据石墩的归属与管理责任、驾驶员的责任、保险理赔情况以及具体事故情况来判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。