结论：在对方抓破您手的情况下，第二天您确实有权考虑起诉对方，但具体是否构成可起诉的案件以及起诉的可行性，需根据伤情鉴定结果、事件的具体经过和证据情况来综合判断。

分析如下：

1. 伤情鉴定与案件性质：

   • 首先，您需要前往公安机关指定的医疗机构进行伤情鉴定。伤情鉴定是判断对方行为是否构成犯罪以及犯罪程度的重要依据。
   • 如果伤情鉴定结果显示为轻微伤，那么对方的行为可能构成《治安管理处罚法》中的违法行为，您可以向公安机关报案，要求对对方进行行政处罚，并可以提起民事诉讼要求赔偿。
   • 如果伤情鉴定结果显示为轻伤或重伤，那么对方的行为可能构成《刑法》中的故意伤害罪，您可以向公安机关报案，要求追究对方的刑事责任，并同时提起附带民事诉讼要求赔偿。

2. 事件经过与证据收集：

   • 除了伤情鉴定外，您还需要收集与事件相关的证据，如现场照片、视频、证人证言等，以证明对方确实对您实施了抓伤行为。
   • 证据的充分性和真实性对于案件的胜诉至关重要。因此，在收集证据时，您应尽可能确保证据的完整性和可信度。

3. 起诉的可行性：

   • 在伤情鉴定和证据收集完成后，您可以根据具体情况决定是否起诉对方。如果伤情较轻，且对方愿意协商赔偿，您也可以考虑通过调解方式解决纠纷。
   • 如果决定起诉，您需要向法院提交起诉状和相关证据材料，并按照法院的要求参与诉讼程序。在诉讼过程中，您应积极配合法院的工作，提供必要的证据和陈述，以维护自己的合法权益。

法律建议：

• 在处理此类纠纷时，建议您保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语攻击对方。
• 及时咨询专业律师，了解自己的法律权益和诉讼风险，以便做出明智的决策。
• 在收集证据和起诉过程中，务必遵守法律法规和诉讼程序要求，确保自己的行为合法合规。

可能后果：

• 如果对方的行为构成犯罪并被追究刑事责任，您将获得相应的民事赔偿，并可能看到对方受到法律的制裁。
• 如果对方的行为不构成犯罪或证据不足无法追究刑事责任，您仍可以通过民事诉讼要求对方赔偿您的损失。但需要注意的是，民事诉讼的胜诉取决于证据的充分性和真实性以及法院的判决结果。