结论前置：具有抚养权一方父亲拒绝抚养儿子，母亲在特定条件下可以告父亲构成遗弃罪，但需根据具体情况判断。若父亲有抚养能力却拒绝扶养，且情节恶劣，则可能构成遗弃罪；若因经济困难或其他合理原因暂时无法充分履行抚养义务，则一般不认定为遗弃罪，但母亲可通过民事诉讼等方式要求父亲履行抚养责任。
一、遗弃罪的认定条件
遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。针对您提出的问题，我们可以从以下几个方面进行详细分析：
扶养义务：
- 父亲作为直系亲属，对未成年子女负有法定的抚养义务。这是基于《中华人民共和国民法典》所规定的父母对子女的法定职责。
拒绝扶养的表现：
- 拒绝扶养具体表现为不提供基本的生活保障，如长期不支付抚养费、不提供住所、不照顾孩子的基本生活起居等。若父亲只是偶尔疏忽或因临时经济困难导致的短时间内无法充分履行抚养义务，一般不认定为拒绝扶养。
情节恶劣的判定：
- 情节恶劣是判定是否构成遗弃罪的关键。通常包括因遗弃致使被害人重伤、死亡；被害人因被遗弃而生活无着，流离失所，被迫沿街乞讨；因遗弃而使被害人走投无路被迫自杀；行为人屡经教育，拒绝改正而使被害人的生活陷入危难境地等情况。
二、实际处理方式
未达到遗弃罪标准的情况：
- 如果父亲拒绝抚养儿子尚未达到情节恶劣的程度，不构成遗弃罪。但母亲作为孩子的监护人，有权通过民事诉讼的方式，要求父亲支付抚养费并履行抚养责任。若经法院判决后，父亲仍拒不执行支付抚养费等判决内容，情节严重的，可能构成拒不执行判决、裁定罪，将面临相应的法律责任。
达到遗弃罪标准的情况：
- 如果父亲拒绝抚养儿子的行为已经构成遗弃罪，母亲可以向公安机关报案，由公安机关进行侦查，之后移送检察院提起公诉，依法追究其刑事责任。
三、法律建议
收集证据：
- 母亲在准备起诉前，应尽可能收集父亲拒绝抚养儿子的相关证据，如聊天记录、转账记录、证人证言等，以证明父亲未履行抚养义务且情节恶劣。
咨询专业律师：
- 在处理此类案件时，建议母亲咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助。律师可以根据案件的具体情况，为母亲制定合适的诉讼策略，并协助母亲收集证据、准备诉讼材料。
关注孩子心理健康：
- 在处理法律纠纷的同时，母亲也应关注孩子的心理健康。父亲拒绝抚养的行为可能对孩子造成心理创伤，母亲应给予孩子足够的关爱和支持，必要时可寻求心理咨询师的帮助。
综上所述，具有抚养权一方父亲拒绝抚养儿子，母亲在特定条件下可以告父亲构成遗弃罪。但具体是否构成遗弃罪，需根据父亲的行为是否达到情节恶劣的程度来判断。在处理此类案件时，建议母亲咨询专业律师并收集相关证据，以维护孩子的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。