结论：学生和学生打架导致一方受伤，赔付问题不一定需要老师或校长出面解决，私了或校长出面都是可能的解决方式，但具体选择哪种方式需根据实际情况和双方意愿来决定。以下是对此问题的详细分析：

一、关于是否需要老师或校长出面

1. 法律层面：从法律角度来看，学生之间的打架行为属于民事纠纷范畴，主要涉及到的是侵权责任问题。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。因此，在打架事件中，如果一方受伤，加害方应当承担相应的赔偿责任。这一过程中，并不必然要求老师或校长出面解决，因为法律并未规定此类纠纷必须由学校管理人员介入。

2. 学校管理层面：虽然法律没有强制要求，但学校作为教育机构，有责任维护校园秩序和学生安全。在打架事件发生后，学校可能会主动介入，了解事情经过，协调双方家长进行协商，以达成和解或赔偿协议。这种介入更多是基于学校的管理职责和对学生安全的考虑，而非法律义务。

二、关于私了与校长出面解决的选择

1. 私了：

   • 优点：私了通常更加灵活、快捷，能够迅速解决纠纷，减少双方的时间和精力消耗。同时，私了也有助于维护双方的关系，避免因为纠纷而进一步恶化。
   • 缺点：私了可能缺乏法律保障，如果双方在赔偿金额、责任划分等方面存在分歧，可能难以达成一致意见。此外，私了也可能存在信息不对称、欺诈等风险。

2. 校长出面解决：

   • 优点：校长作为学校的管理人员，具有较高的权威性和公信力。校长出面解决纠纷，能够增加双方对解决方案的信任度，有助于促成和解。同时，校长也可以从学校管理的角度出发，对双方进行教育和引导，防止类似事件再次发生。
   • 缺点：校长出面解决可能需要一定的时间和精力投入，而且如果双方分歧较大，可能难以达成一致意见。此外，校长出面解决也可能给学校带来一定的管理压力。

三、建议

1. 根据实际情况选择：双方可以根据实际情况和意愿选择私了或校长出面解决。如果双方能够友好协商，且对赔偿金额、责任划分等方面没有太大分歧，那么私了可能是一个不错的选择。如果双方分歧较大，或者希望有一个更加公正、权威的解决方案，那么可以考虑请校长出面解决。

2. 保留证据：无论选择哪种方式解决纠纷，双方都应当保留好相关证据，如医疗记录、证人证言等。这些证据在后续协商或诉讼中可能起到关键作用。

3. 寻求法律帮助：如果双方在协商过程中遇到法律难题或无法达成一致意见，可以寻求专业律师的帮助。律师能够提供专业的法律意见和解决方案，帮助双方更好地维护自己的合法权益。

总之，学生和学生打架导致一方受伤的赔付问题，需要双方根据实际情况和意愿来选择解决方式。如果有任何法律疑问或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询。