结论：公司解除劳动关系后，仍有可能就员工在职期间未完成的承包合同提起赔偿诉讼，但具体能否成功需视合同约定、解除原因及员工过错程度等因素而定。以下从不同角度详细分析：

一、合同相对性原则与责任承担

1. 合同相对性：承包合同是公司与第三方（如承包商、供应商等）签订的协议，其权利义务关系直接约束合同双方，即公司和第三方。员工并非合同当事人，原则上不受合同直接约束。
2. 责任承担：若员工在职期间因故意或重大过失导致承包合同无法履行或造成损失，公司可依据《民法典》中关于侵权责任或违约责任的规定，向员工主张赔偿。但这一主张需建立在员工行为与损失之间存在直接因果关系的基础上。

二、劳动关系解除后的法律后果

1. 解除不影响合同权利：公司解除与员工的劳动关系，并不影响其作为承包合同一方当事人的权利。若承包合同因员工在职期间的行为受损，公司仍有权依据合同约定或法律规定向责任方（包括员工）追偿。
2. 举证责任：公司需承担举证责任，证明员工的行为与承包合同损失之间存在直接因果关系，以及员工存在故意或重大过失。若无法充分举证，公司可能面临败诉风险。

三、具体情形分析

1. 员工故意违约或侵权：若员工在职期间故意违反承包合同约定，或实施侵权行为导致合同无法履行或造成损失，公司有权向员工提起赔偿诉讼。例如，员工泄露商业秘密给竞争对手，导致承包合同被取消或公司遭受损失。
2. 员工重大过失：若员工因重大过失（如严重疏忽、管理不善等）导致承包合同受损，公司同样有权主张赔偿。但需注意，一般过失或轻微疏忽可能不构成赔偿的充分理由。
3. 公司违法解除劳动关系：若公司违法解除与员工的劳动关系（如未提前通知、未支付经济补偿等），员工可能有权主张违法解除的赔偿。但这并不影响公司就承包合同损失向员工主张赔偿的权利，两者属于不同的法律关系。

四、法律建议

1. 审查合同条款：公司应仔细审查承包合同条款，明确双方权利义务及违约责任。若合同中已约定员工在职期间行为导致损失的赔偿条款，公司可依据合同主张权利。
2. 收集证据：公司应积极收集员工行为与承包合同损失之间存在直接因果关系的证据，如聊天记录、邮件、监控录像等。同时，保留好与第三方的沟通记录、损失计算依据等材料。
3. 咨询专业律师：鉴于劳动纠纷和合同纠纷的复杂性，公司应咨询专业律师，制定合适的诉讼策略。律师可协助公司分析案情、准备证据材料、起草法律文书等。

最后，若您在公司解除劳动关系后遇到承包合同赔偿问题，或有其他劳动纠纷、婚姻家庭方面的法律问题，欢迎直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业、全面的法律建议。