抚养权并不直接等同于可以决定给孩子改姓的权利。无论是未成年子女还是成年子女，其姓名的变更均需遵循相关法律法规，且通常需父母双方协商一致（对未成年子女而言），或尊重子女本人意愿（对成年子女而言）。以下是对这一问题的详细分析：

法律规定与分析

1. 基本法律原则：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千零一十五条，自然人原则上应随父姓或母姓，但在特定情况下可选取其他姓氏，如直系长辈血亲的姓氏、扶养人姓氏或有不违背公序良俗的其他正当理由。这一规定为姓名变更提供了法律基础，但并未直接涉及抚养权与改姓权的关系。
   • 公安部相关批复也明确指出，离婚双方未经协商或协商未达成一致，一方不得擅自变更子女姓名；若因隐瞒离婚事实而取得姓名变更，另一方有权要求恢复。这进一步强调了改姓需双方协商一致的原则。

2. 未成年子女的姓名变更：

   • 未成年人姓名的变更需由法定代理人代理实施，即通常需父母双方共同决定。这是因为未成年子女缺乏完全民事行为能力，无法自主决定自己的姓名变更事宜。
   • 在父母离婚的情况下，若要变更未成年子女的姓氏，必须双方协商一致。直接抚养孩子的一方不能擅自更改孩子的姓氏，否则另一方有权要求恢复。这一规定保护了非直接抚养方的权益，避免了因单方面改姓而引发的家庭矛盾。

3. 成年子女的姓名变更：

   • 成年子女具备完全民事行为能力，可自主决定自己的姓名变更事宜，无需父母同意。他们可以根据自己的意愿和需要，按照相关法律程序向户籍管理部门申请改姓。
   • 这一规定体现了对成年子女自主权的尊重，同时也要求他们在行使这一权利时，应充分考虑可能对其身份认同和家庭关系产生的影响。

4. 协商与尊重子女意愿：

   • 即使父母双方都有抚养权，更改孩子姓氏也需先充分协商并达成一致。这是维护家庭和谐、保护子女权益的重要原则。
   • 对于具有一定自主意识和判断能力的孩子，其意见也应被尊重和考虑。尤其是在处理可能对其身份认同和家庭关系产生重大影响的姓名变更问题时，更应充分听取孩子的意见。

综合建议

在处理抚养权和孩子改姓的问题时，应秉持谨慎和周全的态度。抚养权的拥有并不意味着可以随意更改孩子的姓氏。在任何情况下，都应综合考虑法律规定、孩子的意愿和感受以及可能的法律后果。如果双方无法就改姓问题达成一致，可以通过法律途径解决争议，如向法院提起诉讼或申请调解等。

如果您在抚养权或改姓问题上遇到任何疑问或需要帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业的法律建议和指导。