关于“变更抚养权后可以给孩子改姓吗”这个问题，我们可以从法律的角度和具体案例来详细分析。

首先，从法律的角度来看，未成年子女的姓氏变更需要父母双方的一致同意。这是因为在法律上，子女与父母之间的亲子关系并不因姓氏的变更而改变，姓氏只是个人身份的一个标识，而非决定抚养权归属或亲子关系的标志。因此，单纯变更抚养权，并不直接赋予一方改变子女姓氏的权利。

接下来，我们通过一个具体案例来进一步说明这个问题。案例中，杨新与王梦离婚后，女儿杨宝嘉由王梦抚养并随母姓。后来，杨新因不满王梦与新男友的相处以及担心女儿与自己的关系疏远，拒绝支付抚养费，并向法院起诉要求变更女儿抚养权及将女儿姓氏更改回来。然而，法院在审理后认为，离婚协议已明确载明离婚后子女姓氏更改成随母姓，且杨新未能提交有效证据证明存在变更抚养权的法定情形。因此，法院驳回了杨新关于抚养权及姓氏变更的诉讼请求，并判决他继续按照离婚协议支付抚养费。

这个案例告诉我们，即使抚养权发生变更，也不能直接改变子女的姓氏，除非父母双方达成一致意见。同时，抚养权的变更需要符合法律规定的条件，并经过法院的审理和判决。

综上所述，变更抚养权后并不能直接给孩子改姓。如果需要改变子女的姓氏，需要父母双方的一致同意，并符合相关法律程序。同时，抚养权的变更也需要符合法律规定的条件，并经过法院的审理和判决。希望这个解答能够帮助您更好地理解这个问题。