结论：孩子意外受伤住院，即便已经签署了无第三者责任险，若确实存在第三方责任，仍然有权要求第三方进行赔付。

分析说明：

1. 保险与第三方责任的关系：

   • 无第三者责任险，通常意味着在保险合同中，保险公司不承担因第三方责任导致的损失赔付。但这并不免除第三方本身的法律责任。
   • 保险赔付与第三方责任赔付是两个独立的法律关系。保险赔付是基于保险合同，而第三方责任赔付是基于侵权责任法或其他相关法律规定。

2. 第三方责任的存在：

   • 如果孩子的受伤是由于第三方的过错或疏忽导致的，那么第三方在法律上应承担相应的赔偿责任。
   • 第三方责任的存在不依赖于是否购买了相关保险，而是基于事实上的过错或疏忽。

3. 赔付的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》侵权责任编的相关规定，因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
   • 在孩子受伤的情况下，如果第三方存在过错，那么孩子或其法定代理人有权要求第三方进行赔付。

4. 实际操作建议：

   • 首先，应收集并保存所有与受伤事件相关的证据，包括医疗记录、现场照片、证人证言等，以证明第三方的过错或疏忽。
   • 其次，可以尝试与第三方进行协商，寻求和解或达成赔偿协议。
   • 如果协商无果，可以向法院提起诉讼，要求第三方承担法律责任并进行赔付。

特殊场景：

• 如果孩子受伤是由于多个因素共同作用导致的，其中既包括第三方的过错，也包括孩子自身或监护人的疏忽，那么可能需要根据各自的过错程度来分担责任。
• 在某些情况下，即使购买了无第三者责任险，如果保险公司存在误导销售或未履行明确说明义务等行为，也可能影响保险赔付的效力，但这并不改变第三方应承担的法律责任。

后续行动建议：

• 如果您认为存在第三方责任，并且希望进一步了解如何维护孩子的合法权益，请直接向我咨询。我可以根据您的具体情况，提供更详细的法律建议和操作指导。