刑事案件立案后，对有控告人的案件，公安机关决定立案的，应在3日以内送达控告人立案通知书；人民检察院直接受理侦查的案件，决定立案的，会尽快将立案决定书副本送达控告人、举报人，虽无明确天数规定，但实践中会尽快告知；人民法院对提起公诉的案件，会按照刑事诉讼法规定的送达期限，将相关诉讼文书送达被告人等诉讼参与人，如起诉书副本至迟在开庭十日以前送达。以下是对此问题的详细分析：
一、公安机关的告知时间
一般情况：
- 公安机关接受案件后，经审查认为有犯罪事实需要追究刑事责任且属于自己管辖的，经县级以上公安机关负责人批准，予以立案。
- 对有控告人的案件，决定立案的，公安机关应制作立案通知书，并在3日以内送达控告人。
行政执法机关移送的案件：
- 公安机关应在接受案件之日起3日内进行审查，并书面通知移送案件的行政执法机关。
二、人民检察院的告知时间
直接受理侦查的案件：
- 人民检察院决定立案的，承办部门应制作立案决定书，并尽快将立案决定书副本送达控告人、举报人。虽然法律并未明确规定具体的天数，但实践中会尽快告知，以保障当事人的知情权。
对公安机关的监督：
- 若人民检察院认为公安机关应当立案而不立案的理由不能成立，应通知公安机关立案。
- 公安机关需在接到通知后15日内立案，并将立案决定书送达人民检察院。
三、人民法院的告知时间
对提起公诉的案件：
- 法院会按照刑事诉讼法规定的送达期限，将相关诉讼文书送达被告人等诉讼参与人。
- 例如，起诉书副本至迟在开庭十日以前送达被告人。
自诉案件：
- 法院经过审查，认为符合立案条件的，应开庭审判。
- 若不符合立案条件，法院应在15日内作出裁定书，不予受理，并通知自诉人。
四、特殊情况及注意事项
- 在某些特定情况下，如信息无法有效传达、涉嫌危害国家安全或恐怖活动犯罪且通知可能干扰侦查工作时，告知时间可能会延长或不予告知。但这种情况较为特殊，且需符合严格的法律条件。
- 告知方式可以是书面通知，也可以是口头告知，并做好相关记录。告知内容应包括立案时间、案件性质、犯罪嫌疑人的基本情况等重要信息，以便当事人及时了解案件进展。
- 当事人收到告知后应仔细核对内容，如有异议可及时向相关机关提出。若当事人未能在规定时限内接收到相关告知，可以依据法定程序向相关机构提出质疑或投诉。
在实际操作中，当事人应密切关注案件进展情况，并在必要时向相关机关咨询或催促，以确保自己的合法权益得到保障。同时，相关机关也应依法履行告知义务，确保当事人的知情权得到充分尊重和保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。