首先，我们需要明确一点：故意杀人案与抚养费、赡养费的支持是两个相对独立但又可能有所关联的法律问题。

结论前置：在故意杀人案中，犯罪嫌疑人的行为并不影响其应承担的抚养费或赡养费责任，但这两种费用的支持与否还需根据具体情况来判断。

分析说明：

1. 抚养费：

   • 抚养费主要是父母对未成年子女或不能独立生活的子女应承担的养育费用。
   • 如果一方因故意杀人被判刑，但其仍有经济能力且法律上负有抚养义务，那么其仍需支付抚养费。
   • 如果因判刑导致经济能力丧失或减弱，无法支付抚养费，那么可能需要通过法律程序来调整抚养费的支付。

2. 赡养费：

   • 赡养费主要是成年子女对父母或不能独立生活的亲属应承担的养育费用。
   • 同样，如果一方因故意杀人被判刑，但其仍有经济能力且法律上负有赡养义务，那么其仍需支付赡养费。
   • 如果因判刑导致经济能力丧失或减弱，无法支付赡养费，也可能需要通过法律程序来调整赡养费的支付。

特殊情况：

• 如果犯罪嫌疑人的财产因判刑而被冻结或没收，那么可能会影响其支付抚养费或赡养费的能力。
• 如果受害人就是抚养或赡养的对象，且因犯罪嫌疑人的犯罪行为导致死亡，那么抚养费或赡养费的支持可能会因受害人的死亡而终止。

总结：

故意杀人案中的犯罪嫌疑人仍需根据其经济能力和法律义务来判断是否应支付抚养费或赡养费。如果因判刑导致经济能力变化，可能需要通过法律程序来调整支付情况。如果你在这方面有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。