能否与项目部签订合同以及能否由项目部开具发票，需分情况讨论：

1. 合同签订主体资格

   • 若项目部具备独立法人资格或经授权：例如项目部系分公司性质或总公司明确授权其签订合同，则合同有效。此时需核查项目部的营业执照、授权委托书等文件，确认其权限范围。
   • 若项目部无独立资格且未获授权：根据《民法典》第一百六十一条，超越权限订立的合同效力待定，需经总公司追认后才生效。若未追认，合同可能被认定为无效，导致履行风险。

2. 发票开具主体资格

   • 税务登记与发票开具权：根据《发票管理办法》第十九条，项目部若在税务机关登记为独立纳税主体（如分公司），可自行开具发票；若未登记，则需以总公司名义开具。
   • “三流一致”原则：合同签订方、收款方、发票开具方需一致。若项目部代收款项但未获授权开具发票，可能引发税务风险（如虚开发票），导致合同款项被认定为无效支出。

实务建议：

• 签约前核查：要求项目部提供总公司授权文件、营业执照副本，确认其签约权限；
• 发票条款明确：在合同中约定“发票由具有开具资格的主体（如总公司/分公司）开具，并确保与收款方一致”；
• 风险规避：若项目部无独立资格，建议直接与总公司签订合同，避免后续纠纷。

总结：与项目部签约或接受其开具发票需严格审查其主体资格，否则可能面临合同无效、税务处罚等风险。如有具体案例或文件需进一步分析，可直接向我咨询。