小学生自己在校摔倒受伤，责任的承担需根据具体情况来综合判断，主要涉及学校、学生自身（及其监护人）的责任。以下是对此问题的详细分析：

1. 学校责任

   • 过错责任原则：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十九条，对于无民事行为能力的小学生（通常8周岁以下），学校负有较高的注意义务。若学校未能尽到教育、管理职责，如教室设施存在安全隐患未及时修理，或教师在组织活动时疏于管理等，导致学生摔倒受伤，学校需承担责任。
   • 过错推定责任原则：依据《中华人民共和国民法典》第一千二百条，对于限制民事行为能力的小学生（8周岁以上），学校在责任认定上采用过错推定原则。即学生受伤时，首先推定学校存在过错，除非学校能证明自己已尽到相应职责，如进行了安全教育、及时采取了合理救助措施等，否则需承担侵权责任。

2. 学生自身或监护人责任

   • 如果小学生的受伤是由于其自身的故意或重大过失行为导致的，如课间故意追逐打闹、不听从老师劝阻等，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百八十八条，学生自身或其监护人需承担相应的责任。监护人尽到监护职责的，可以减轻其侵权责任。

3. 特殊情况说明

   • 第三方责任：如果小学生的受伤是由学校以外的第三人造成的，如校外人员进入学校殴打学生，该第三人需承担侵权责任。同时，若学校在此过程中未尽到管理职责，也需承担相应的补充责任，并可在承担责任后向第三人追偿。
   • 保险赔偿：若学校为学生购买了相关保险（如校方责任险、学生意外伤害险等），在发生伤害事故时，保险公司也可能根据保险合同承担相应的赔偿责任。这为学生提供了额外的保障，减轻了学校和家庭的负担。

综合建议：

• 学校方面：应加强安全管理，完善设施设备，提高教师的责任心和管理能力，定期进行安全检查和隐患排查，确保学生在校期间的安全。
• 家长方面：应加强对孩子的安全教育和监护，教育孩子遵守学校规章制度，不进行危险行为，同时关注孩子的身体状况和情绪变化，及时与学校沟通。
• 学生方面：应增强自我保护意识，遵守学校纪律和规章制度，不进行危险游戏和打闹行为，遇到危险情况及时向老师报告。

在处理小学生在学校受伤的责任承担问题时，应综合考虑各方面因素，包括事故发生的时间、地点、原因、当事人的行为以及法律条款的具体规定等。如果发生此类事件，建议首先与学校沟通协商，了解事情经过及学校态度，并收集相关证据以便后续维权。如有需要，可以直接向我咨询相关法律问题，我会根据具体情况提供专业的法律建议。