民政部门在行使同意监护人的法律责任方面，主要依据《中华人民共和国民法典》以及相关法律法规的规定来履行其职责。以下是对民政部门如何行使这一法律责任的详细解答：

一、监护同意权的行使

根据《民法典》的相关规定，民政部门在特定情形下拥有对监护人的同意权。这主要体现在对未成年人及成年人的监护人选任上。例如，在未成年人的父母已经死亡或者没有监护能力的情况下，若由其他个人或组织担任监护人，需经过民政部门的同意。这一同意权的行使，旨在确保被监护人的权益得到妥善保护，避免监护人选任不当可能带来的风险。

二、指定监护职责的履行

当对监护人的确定存在争议时，民政部门还承担着指定监护的职责。这通常发生在多个有监护资格的人之间无法就监护人选达成一致意见的情况下。民政部门会根据相关法律法规和实际情况，综合考虑被监护人的利益、监护人的监护能力等因素，公正、合理地指定监护人。

三、担任监护人的情形

在没有依法具有监护资格的人的情形下，民政部门还可能直接担任监护人。这通常发生在被监护人处于无人照料、无人监护的紧急状态下。民政部门作为兜底监护人，将承担起照顾被监护人生活、保护其合法权益等职责。

四、紧急情况下的临时监护措施

在发生突发事件等紧急情况，导致监护人暂时无法履行监护职责，被监护人的生活处于无人照料状态时，民政部门还需采取必要的临时生活照料措施。这包括为被监护人提供临时住所、生活必需品等，确保其基本生活需求得到满足。

五、监护监督权的行使

民政部门还拥有对监护人的监督权。在必要时，民政部门可以向人民法院申请撤销监护人资格，并重新指定监护人。这一监督权的行使，旨在确保监护人切实履行其监护职责，防止监护人滥用职权或疏于履行职责给被监护人造成损害。

六、具体履职机制与流程

为了更好地履行上述职责，民政部门通常会建立一套完善的履职机制与流程。这包括明确相关法律制度、现有工作机制和短板、履职所涉及的法律适用标准以及履职机制流程等。例如，在行使监护同意权时，民政部门会明确同意权的适用对象、适用情形以及适用标准，并制定相应的同意程序。在指定监护人时，民政部门会综合考虑多种因素，确保指定结果的公正性和合理性。

七、加强部门协同与公众参与

为了更好地履行监护职责，民政部门还会加强与其他相关部门的协同合作，如与卫健、金融、住建、公安、司法等部门分工负责监护登记管理、医疗服务、财产保护、住房安全、权益保护、数据收集统计等。同时，民政部门还会积极动员社会力量参与监护工作，通过政府购买服务、给予运营补贴等方式解决监护资源缺口问题。

综上所述，民政部门在行使同意监护人的法律责任方面扮演着重要角色。通过明确职责、建立履职机制、加强部门协同与公众参与等措施，民政部门能够更好地保护被监护人的合法权益，维护社会和谐稳定。