结论：公公瘫痪且婆婆需要照顾的情况下，他们所欠的外债应由谁承担，需根据债务的性质、用途以及债务人的具体情况来判断。以下从不同角度进行分析：
一、债务性质与用途
夫妻共同债务：
- 定义：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，夫妻共同债务是指为满足夫妻共同生活需要所负的债务，包括夫妻双方共同签名或者夫妻一方事后追认等共同意思表示所负的债务，以及夫妻一方在婚姻关系存续期间以个人名义为家庭日常生活需要所负的债务。
- 承担方式：若债务被认定为夫妻共同债务，则应由公公和婆婆共同承担偿还责任。即使公公瘫痪，婆婆仍需承担其应负的债务份额。
个人债务：
- 定义：个人债务是指夫妻一方在婚姻关系存续期间以个人名义超出家庭日常生活需要所负的债务，且债权人不能证明该债务用于夫妻共同生活、共同生产经营或者基于夫妻双方共同意思表示的。
- 承担方式：若债务被认定为公公的个人债务，则原则上应由公公个人承担偿还责任。然而，在公公瘫痪且无偿还能力的情况下，债权人可能会寻求其他途径来追讨债务，如要求婆婆承担连带责任（在特定情况下，如婆婆继承了公公的遗产且遗产足以清偿债务时），但这并非法律上的直接责任。
二、债务人的具体情况
债务人丧失民事行为能力：
- 情况说明：若公公因瘫痪而丧失民事行为能力，则其债务偿还责任可能由其法定代理人（如婆婆或成年子女）代为承担。但法定代理人仅在其代理权限内行事，且偿还债务的范围通常限于债务人的财产。
- 法律后果：在这种情况下，婆婆作为法定代理人，可能需要协助处理公公的债务问题，但并不意味着她个人需要承担公公的全部债务。
债务人财产状况：
- 情况说明：若公公和婆婆拥有共同财产，且债务被认定为夫妻共同债务，则债权人可以要求以共同财产来偿还债务。若共同财产不足以清偿债务，则双方可能需要协商分担剩余债务或通过法律途径解决。
- 法律建议：在处理此类债务问题时，建议婆婆与债权人进行协商，寻求合理的债务偿还方案。同时，也可以考虑咨询专业律师，以了解自己的法律权益和义务。
三、特殊情况下的债务承担
婆婆自愿承担债务：
- 情况说明：若婆婆出于家庭责任或情感考虑，自愿承担公公的债务，则这是其个人选择，法律上并不禁止。
- 法律后果：在这种情况下，婆婆需要自行承担债务偿还责任，且可能无法向公公或其他家庭成员追偿。
债务涉及第三方：
- 情况说明：若债务涉及第三方（如担保人、共同借款人等），则第三方的法律责任需根据具体情况来判断。
- 法律建议：在处理涉及第三方的债务问题时，建议婆婆咨询专业律师，以了解第三方的法律责任和可能的法律后果。
总结与建议：公公瘫痪且婆婆需要照顾的情况下，他们所欠的外债应由谁承担需根据债务的性质、用途以及债务人的具体情况来判断。在处理此类债务问题时，建议婆婆首先明确债务的性质和用途，然后与债权人进行协商寻求合理的债务偿还方案。若协商无果或债务问题复杂，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。