结论前置：单位不可以完全不管您因被送往精神病医院而未上班的情况，具体处理方式需根据实际情况和法律规定来确定。以下从多个角度为您详细分析：
一、从劳动关系的角度
劳动关系的存续：
- 您与单位之间存在劳动关系，这一关系不因您被送往精神病医院而自动解除。除非单位能够证明您存在严重违反单位规章制度、不能胜任工作且经过培训或调岗后仍不能胜任、严重失职或营私舞弊给单位造成重大损害等法定解除劳动合同的情形，否则单位无权单方面解除与您的劳动关系。
单位的义务：
- 在您因精神疾病无法正常工作期间，单位有义务按照相关规定和劳动合同的约定，为您保留工作岗位，并可能需要根据您的实际情况，安排适当的工作或调整工作岗位。同时，单位也应关注您的健康状况，提供必要的帮助和支持。
二、从工伤认定的角度（若符合工伤情形）
工伤认定的条件：
- 如果您被送往精神病医院是因为工作原因导致的精神疾病，且该疾病符合《工伤保险条例》中关于工伤的认定条件（如在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害；或者因履行工作职责受到暴力等意外伤害等），那么您可以申请工伤认定。
工伤待遇：
- 一旦被认定为工伤，您将享受工伤保险待遇，包括医疗费用报销、停工留薪期工资、伤残津贴等。单位应协助您办理工伤认定和待遇申领手续。
三、从非工伤但需医疗期的角度
医疗期的规定：
- 如果您被送往精神病医院并非因工作原因，但您确实需要治疗，且根据您的实际工作年限和在本单位的工作年限，您可能享有一定期限的医疗期。在医疗期内，单位不得解除劳动合同，且应支付您病假工资或疾病救济费。
医疗期的待遇：
- 医疗期内的待遇通常包括病假工资、医疗费用报销等。具体待遇标准可能因地区和单位政策而异，但单位应确保您的合法权益不受侵害。
四、实际操作建议
及时沟通：
- 建议您尽快与单位沟通，说明您的情况，并了解单位对于此类情况的处理方式和政策。同时，您也可以向单位提供相关的医疗证明和诊断书，以便单位更好地了解您的健康状况。
申请工伤认定（如适用）：
- 如果您认为您的精神疾病与工作有关，且符合工伤认定条件，建议您尽快向当地社会保险行政部门申请工伤认定。
寻求法律援助：
- 如果您在处理此事过程中遇到任何困难或纠纷，如单位拒绝支付病假工资、拒绝保留工作岗位等，您可以寻求法律援助或咨询专业律师（即向我咨询），以维护您的合法权益。
最后，每个具体案件都有其独特性，上述分析仅供参考。如果您有更详细的情况或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。