当债务人或债权人死亡时，起诉的主体会根据具体情况有所不同，以下是详细分析：
一、债权人死亡的情况
诉讼主体资格承接：
- 债权人死亡后，其债权作为遗产由继承人继承。继承人（包括法定继承人和遗嘱或遗赠扶养协议指定的继承人）在继承遗产的范围内享有相应的权利，并可作为诉讼主体来主张该债权。
- 法定继承人范围按照法定顺序依次为配偶、子女、父母（第一顺序），以及兄弟姐妹、祖父母、外祖父母（第二顺序）。
- 若债权人生前立有合法有效的遗嘱，明确指定了债权的继承人，则该指定继承人具有诉讼主体资格。
- 若债权人与他人签订了遗赠扶养协议，且协议中涉及债权的归属，则按协议约定享有债权的人可作为诉讼主体。
- 在某些情况下，如债权人未留下有效遗嘱或遗赠扶养协议，或其继承人无法或不愿承担管理责任时，遗产管理人可依法被指定为诉讼主体，负责处理债权债务。
起诉时的证明资料：
- 继承人或遗产管理人提起诉讼时，必须提交以下证明材料以证明其诉讼主体资格：债权人死亡证明、亲属关系证明或继承证明、遗嘱或遗赠扶养协议（如有）、债权凭证等。
特殊情况处理：
- 若存在多个继承人，部分继承人起诉时，人民法院应通知其他继承人作为共同原告参加诉讼。被通知的继承人不愿意参加诉讼又未明确表示放弃实体权利的，仍应将其列为共同原告。
- 继承人明确表示放弃继承的，不再承担债务责任，但需在法定期限内以法定形式表示。放弃继承的继承人一般不再参与诉讼。
- 若债权涉及国家利益、集体利益或社会公共利益，有关国家机关、集体组织等可能作为诉讼主体。若不涉及上述利益，且无继承人或继承人均放弃继承，债权可能无法通过诉讼主张。
二、债务人死亡的情况
向死者的配偶追偿：
- 如果债务属于夫妻共同债务（如债务用于夫妻共同生活、共同生产经营或基于夫妻双方共同意思表示），则债权人有权向死者的配偶追偿。
- 债权人需收集证据证明债务属于夫妻共同债务。
从死者遗产中偿还：
- 死者生前所欠的债务，原则上应从死者遗产中偿还。债权人应首先明确死者的遗产范围，包括房产、存款、投资等，并向死者的遗产提出申请。
- 继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负清偿责任。
向死者的继承人在所继承财产的范围内承担偿还责任：
- 债权人需了解死者的继承人情况，并在必要时将继承人列为被告，要求其在所继承财产的范围内承担偿还责任。
- 如果继承人放弃继承，则无需对债务负责，但需提供相关证据。
三、诉讼时效问题
- 无论是债权人死亡还是债务人死亡，债权的诉讼时效依然适用。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。法律另有规定的，依照其规定。
- 债权人应在诉讼时效内提起诉讼，以确保自身权益不受损害。若因债权人死亡导致不能行使请求权的，诉讼时效可能会中止。自中止时效的原因消除之日起满六个月，诉讼时效期间届满。因此，继承人或遗产管理人应及时提起诉讼以避免超过诉讼时效。
总结来说，当债务人或债权人死亡时，起诉的主体会根据具体情况有所不同。债权人死亡后，其诉讼主体资格主要由继承人承接；债务人死亡后，债权人可以向死者的配偶追偿、从死者遗产中偿还或向死者的继承人在所继承财产的范围内承担偿还责任。在任何情况下，都需注意诉讼时效的相关规定。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。