结论：在此类因他人安装铁链导致业主在非通行路段行走摔倒的侵权损害赔偿案件中，责任归属需根据具体情况判断，可能涉及安装铁链者、物业管理部门或业主自身等多方责任。以下是对此问题的详细分析：

1. 安装铁链者的责任：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。若安装铁链者未经许可，在公共区域或他人通行区域安装铁链，且该行为直接导致了业主的摔倒受伤，那么安装铁链者应当承担相应的赔偿责任。
   • 责任范围：安装铁链者需赔偿业主因摔倒而产生的医疗费、误工费、护理费、交通费等合理费用。若造成严重后果，如残疾或死亡，还需赔偿相应的残疾赔偿金或死亡赔偿金。

2. 物业管理部门的责任：

   • 管理义务：物业管理部门有义务对小区内的公共设施和安全进行管理和维护。若物业管理部门未能及时发现并拆除或警示安装不当的铁链，导致业主摔倒受伤，那么物业管理部门可能因未尽到管理义务而承担一定的赔偿责任。
   • 责任比例：物业管理部门的具体责任比例需根据其过错程度、管理范围以及业主摔倒的具体原因等因素综合判断。若物业管理部门已尽到合理的管理义务，如定期巡查、设置警示标志等，则可能减轻或免除其赔偿责任。

3. 业主自身的责任：

   • 注意义务：业主在行走时也有义务注意自身安全，避免在非通行路段或存在安全隐患的区域行走。若业主明知某区域存在安全隐患（如安装有铁链）仍坚持行走，并因此导致摔倒受伤，那么业主自身也可能需承担一定的责任。
   • 责任减轻：在业主自身存在过错的情况下，其可获得的赔偿金额可能会相应减少。具体减少比例需根据业主的过错程度、摔倒的具体原因以及安装铁链者和物业管理部门的过错程度等因素综合判断。

建议与行动：

• 收集证据：业主在摔倒后应立即收集相关证据，如现场照片、视频、医疗记录等，以便后续维权。
• 协商与调解：业主可先尝试与安装铁链者或物业管理部门进行协商和调解，寻求合理的赔偿方案。
• 法律途径：若协商和调解无果，业主可通过法律途径维护自身权益，如向法院提起诉讼或申请仲裁等。

后续思考：

• 预防措施：为避免类似事件再次发生，物业管理部门应加强对小区内公共设施和安全的管理和维护，定期巡查并设置警示标志；业主也应提高安全意识，避免在非通行路段或存在安全隐患的区域行走。
• 法律宣传：通过法律宣传和教育活动，提高公众对侵权责任法的认识和理解，增强大家的法律意识和维权意识。

如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会为你提供专业、全面的法律服务。