针对承揽合同未约定付款时间时诉讼时效的起算问题，结论如下：
诉讼时效自权利人知道或应当知道权利受损及义务人之日起计算，具体起算点需结合合同履行情况、催告行为及债务人态度综合判断。以下是详细分析：

一、核心法律依据与原则

1. 《民法典》第一百八十八条
   诉讼时效期间为三年，自权利人知道或应当知道权利受损及义务人之日起计算。但自权利受损之日起超过二十年的，法院不予保护（特殊情况可延长）。

2. 《民法典》第五百一十一条
   未约定履行期限的合同，债务人可随时履行，债权人可随时请求履行，但需给对方必要准备时间。

3. 《最高人民法院关于审理民事案件适用诉讼时效制度若干问题的规定》第四条

   • 能确定履行期限的，诉讼时效从履行期限届满之日起算；
     
   • 不能确定履行期限的，诉讼时效从债权人要求债务人履行义务的宽限期届满之日起算；
     
   • 若债务人在债权人第一次主张权利时明确表示不履行，诉讼时效从其明确表示不履行之日起算。

二、具体起算点分析

1. 未约定付款时间，但可推定履行期限

• 情形：合同虽未明确付款时间，但根据交易习惯、行业惯例或双方后续行为可推定履行期限（如“交付工作成果后立即付款”）。
  
• 起算点：履行期限届满次日。
  
• 示例：承揽人于2024年1月1日交付工作成果，双方口头约定“验收后付款”，验收期为3日，则付款期限为1月4日，诉讼时效自1月5日起算。

2. 未约定付款时间，且无法推定履行期限

• 情形：合同未约定付款时间，且无交易习惯或行业惯例可参考。
  
• 起算点：
  
  • 债权人催告后：债权人书面催告债务人付款，并给予合理宽限期（如10日），宽限期届满次日起算；
    
  • 债务人明确拒绝履行：债务人在债权人第一次主张权利时明确表示不付款，自其表示之日起算。
    
• 示例：承揽人于2024年2月1日交付工作成果后未收到款项，于2月10日发送书面催告函要求15日内付款，债务人未回复，则诉讼时效自2月26日起算。

3. 持续履行合同（如长期承揽关系）

• 情形：双方存在长期合作，未约定每笔业务的付款时间。
  
• 起算点：
  
  • 定期结算条款：若合同约定按月/季结算，每期债权独立计算诉讼时效（如“每月5日前支付上月货款”）；
    
  • 无定期结算条款：结合交易习惯或最后一次履行行为确定。例如，双方连续供货至2024年3月停止，但未结算，诉讼时效可能自最后一次供货（3月31日）的合理对账期（如1个月）届满后起算。
    
• 示例：长期承揽合同约定“每季度末结算一次”，2024年第一季度货款应于3月31日前支付，诉讼时效自4月1日起算。

三、关键风险防范建议

1. 合同条款设计

   • 明确约定付款时间（如“交付工作成果后7日内付款”）及逾期违约金，避免模糊表述（如“尽快支付”）；
     
   • 对长期合同设置定期结算机制（如“每月5日前支付上月货款”）。

2. 履约管理

   • 定期发送对账单并要求对方确认，保留书面证据；
     
   • 发现违约迹象时及时通过书面形式催告，并留存送达证明（如快递记录、电子邮件截图）。

3. 时效中断措施

   • 在诉讼时效届满前通过提起诉讼、申请仲裁、主张抵销等方式中断时效；
     
   • 例如，在诉讼时效届满前向法院提交起诉材料并取得立案受理通知。

四、特殊情形说明

• 债务人部分履行：若债务人已部分付款，剩余款项的诉讼时效从最后一次付款次日起算（但需证明剩余款项与已付款项的关联性）。
  
• 债务人失踪或无履行能力：若债务人下落不明或丧失履行能力，债权人可依据《民法典》第一百九十四条申请诉讼时效中止（如因不可抗力或其他障碍不能行使请求权）。

如有进一步疑问或需具体案例分析，可直接向我咨询。