结论：湿巾纸赠品过期，您是有可能进行索赔的，但具体能否索赔成功以及索赔的金额和方式，需要根据实际情况和法律规定来判断。

分析说明：

1. 赠品也属于商品：

   • 根据《消费者权益保护法》的相关规定，经营者提供的赠品，同样应当保证其质量，不得提供质量不合格或者过期的商品。因此，如果湿巾纸作为赠品过期，这本身就违反了法律规定，经营者应当承担相应的责任。

2. 索赔的依据：

   • 如果因为使用了过期的湿巾纸赠品，导致您或您的家人出现了身体不适或其他损害，您可以依据《消费者权益保护法》的相关规定，要求经营者进行赔偿。赔偿的范围可能包括医疗费、误工费、精神损失费等，具体需要根据实际情况和法律规定来确定。
   • 即使没有直接的身体损害，如果经营者明确承诺赠品为新品或未过期商品，但实际上提供了过期商品，这也可能构成欺诈行为。根据《消费者权益保护法》第五十五条，经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或者接受服务的费用的三倍；增加赔偿的金额不足五百元的，为五百元。虽然赠品未直接支付价款，但此条款的精神在于保护消费者免受欺诈，具体应用时可能需结合实际情况和法院裁判观点。

3. 索赔的流程：

   • 首先，您应当收集相关证据，如购买凭证、赠品过期证据、身体损害证据等。
   • 然后，您可以与经营者进行协商，要求其进行赔偿。
   • 如果协商不成，您可以向当地的消费者协会或者市场监管部门进行投诉，寻求他们的帮助和支持。
   • 最后，如果仍然无法解决问题，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益，如向法院提起诉讼。

特殊场景：

• 如果经营者能够证明赠品过期并非由于其故意或重大过失造成，且您未因使用过期赠品而遭受实际损害，那么索赔的难度可能会增加。但即便如此，经营者仍然应当承担一定的责任，如更换赠品或提供其他形式的补偿。

行动建议：

• 如果您发现湿巾纸赠品过期，首先应当保留好相关证据，如购买凭证、赠品包装等。
• 然后，您可以尝试与经营者进行协商，看是否能够达成一致的赔偿方案。
• 如果协商不成，不要轻易放弃，您可以向当地的消费者协会或市场监管部门寻求帮助。
• 最后，如果问题仍然无法解决，您可以考虑咨询我，通过法律途径来维护自己的合法权益。

希望以上分析能够对您有所帮助。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。