结论：银行在借款人未偿还利息时，确实负有一定的告知义务，但这一义务并非绝对，而是受到借款合同约定、法律法规以及实际情况等多重因素的影响。以下是对这一问题的详细分析：
一、银行告知义务的法律依据与合同约定
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第六百七十四条，借款人应当按照约定的期限支付利息。这一条款虽然主要规定了借款人的支付义务，但隐含了银行作为贷款人，在借款人未按时支付利息时，有权进行催告或告知的权益。
- 同时，从合同法的公平原则和诚实信用原则出发，银行作为贷款人，在借款人未履行支付利息义务时，有义务及时告知借款人，以便借款人能够了解自己的债务状况并采取相应措施。
合同约定：
- 借款合同是借款人与银行之间明确双方权利和义务的法律文件。在合同中，通常会明确约定利息的支付方式、支付期限以及逾期支付的后果等。如果合同中明确规定了银行在借款人未支付利息时的告知义务，那么银行就必须履行这一义务。
二、银行告知义务的实际履行情况
常规操作：
- 在实际操作中，银行通常会通过短信、电话、邮件等方式提醒借款人按时支付利息。这是银行为了维护自身权益、减少不良贷款而采取的常规措施。
- 如果借款人未能按时支付利息，银行还会进一步采取催收措施，包括发送催收通知、上门催收等，以确保借款人能够尽快履行支付义务。
特殊情况：
- 在某些特殊情况下，如借款人因不可抗力因素（如自然灾害、战争等）导致无法按时支付利息，或者银行自身存在过错（如利息计算错误、收取错误等），银行可能会根据具体情况调整告知义务的内容和方式。
- 此外，如果政策调整或监管要求发生变化，银行也可能需要根据新的政策要求来履行告知义务。
三、借款人未支付利息的法律后果与建议
法律后果：
- 如果借款人未能按时足额支付利息，银行有权采取一系列法律措施来追讨欠款，包括但不限于催收、起诉、查封财产等。这不仅会对借款人的信用记录造成严重影响，还可能导致其面临法律纠纷和经济损失。
建议：
- 及时沟通：如果借款人因特殊原因无法按时支付利息，应及时与银行沟通并说明情况，寻求银行的谅解和支持。
- 履行义务：借款人应尽可能按照合同约定履行支付利息的义务，以维护自己的良好信用记录和避免不必要的法律风险。
- 寻求法律帮助：如果借款人与银行在利息支付问题上存在争议或纠纷，可以寻求专业律师的法律帮助，以维护自己的合法权益。
总结：银行在借款人未偿还利息时确实负有一定的告知义务，但这一义务的具体内容和履行方式可能因合同约定、法律法规以及实际情况的不同而有所差异。借款人应了解自己的债务状况并按时履行支付义务，以避免不必要的法律风险和经济损失。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。