上诉期的起算时间，在当庭宣判后送达书面判决书的情况下，是从当事人收到书面判决书之日起开始计算。以下是对这一问题的详细解释：
法律依据与解释
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人不服地方人民法院第一审判决的，有权在判决书送达之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉。这里的“判决书送达之日起”即指当事人实际收到书面判决书之日，而非宣判之日。这是因为，虽然法院可能已经当庭宣判，但书面判决书是正式的法律文书，其送达标志着判决的正式生效和当事人权利义务的明确。因此，上诉期的起算应当从当事人收到书面判决书之日起开始计算。
实际操作中的注意事项
送达方式的确认：在实际操作中，法院可能会通过邮寄、直接送达、公告送达等多种方式送达书面判决书。当事人应当确保自己的联系方式准确无误，以便及时收到判决书。如果因联系方式错误或变更导致未能及时收到判决书，可能会影响上诉期的起算。
上诉期的计算：上诉期通常为十五日，自当事人收到书面判决书之次日起计算。例如，如果当事人在5月1日收到判决书，那么上诉期将从5月2日开始计算，至5月16日结束。如果上诉期的最后一日是法定节假日，那么上诉期将顺延至节假日后的第一个工作日。
上诉的提交：当事人应当在上诉期内向上一级人民法院提交上诉状，并按照对方当事人或者代表人的人数提出副本。上诉状应当载明当事人的姓名、法人的名称及其法定代表人的姓名或者其他组织的名称及其主要负责人的姓名、原审人民法院名称、案件的编号和案由、上诉的请求和理由等内容。
特殊情况的处理
如果当事人在收到判决书后，因不可抗力或者其他正当理由耽误了上诉期限，可以在障碍消除后的十日内申请顺延期限。是否准许，由人民法院决定。这一规定体现了法律对当事人合法权益的保护，确保了当事人在因特殊情况无法按时上诉时，仍有机会通过法律途径维护自己的权益。
总结来说，上诉期的起算时间是从当事人收到书面判决书之日起开始计算。当事人在收到判决书后，应当仔细核对判决内容，并在上诉期内及时提交上诉状，以维护自己的合法权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。