可以要求公司补开劳动关系证明，但需分情况讨论，具体如下：

1. 若公司认可劳动关系存在
   根据《劳动合同法》第五十条及《关于确立劳动关系有关事项的通知》（劳社部发〔2005〕12号），用人单位在与劳动者解除或终止劳动合同时，有义务出具解除或终止劳动合同的证明。若公司未签订书面合同但实际存在劳动关系（如通过工资支付记录、社保缴纳记录、考勤记录、工作证等证据可证明），劳动者可书面要求公司补开劳动关系证明，并明确用途（如申请劳动仲裁、办理社保转移等）。若公司拒绝，劳动者可向当地劳动监察部门投诉，或直接申请劳动仲裁，要求公司履行义务。

2. 若公司否认劳动关系存在
   若公司拒绝补开证明且否认劳动关系，劳动者需先通过证据证明劳动关系存在，再要求补开证明。根据《劳动争议调解仲裁法》第六条，劳动者需承担初步举证责任，可提供以下证据：

   • 工资支付凭证（银行流水、转账记录等）；
     
   • 社保缴纳记录；
     
   • 工作证、工服、门禁卡等实物证据；
     
   • 考勤记录、工作群聊天记录、邮件往来等；
     
   • 同事证言（需出庭作证或书面证言）。
     若证据充分，劳动仲裁委或法院会认定劳动关系存在，此时可要求公司补开证明；若证据不足，可能面临败诉风险。

3. 补开证明的注意事项

   • 内容要求：证明需明确劳动者姓名、身份证号、入职时间、岗位、劳动关系存续期间等关键信息，并加盖公司公章或人事专用章。
     
   • 时效性：若用于申请工伤认定、失业保险等，需在法定时效内（如工伤认定需在事故发生后1年内）提出，避免因证明缺失导致权益受损。
     
   • 替代方案：若公司拒不开具，劳动者可向劳动仲裁委申请“确认劳动关系”仲裁，仲裁裁决书可直接作为劳动关系证明使用。

总结：未签合同不影响劳动关系的认定，劳动者可通过证据证明劳动关系后，要求公司补开证明。若公司拒绝，可依法投诉或仲裁。建议劳动者在要求补开证明时，同步收集证据，以保障自身权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询。