结论：犯盗窃罪在取保候审阶段死亡，不会留下案底，但具体还需结合案件后续处理情况及法律规定来综合判断。以下是对此问题的详细分析：
一、取保候审的性质与影响
取保候审是《中华人民共和国刑事诉讼法》规定的一种非羁押性强制措施。它允许犯罪嫌疑人在提供保证人或者交纳保证金的情况下，暂时获得相对自由的状态，但并不意味着案件的终结或犯罪嫌疑人无罪。在取保候审期间，司法机关仍会继续对案件进行调查、侦查和审查起诉。然而，取保候审本身并不等同于有罪判决，也不意味着一定会留下案底。
二、案底的产生条件
案底，通常指某人过去犯法或犯罪行为的记录，即犯罪人员犯罪记录制度。在我国法律中，案底一般存放于公安部门与相关国家机关，并可能对个人的未来生活产生一定影响，如就业、出国等方面的限制。只有经过人民法院依法判决，确定有罪的人，才会留下案底。
三、犯罪嫌疑人死亡后的案件处理
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条的规定，有下列情形之一的，不追究刑事责任，已经追究的，应当撤销案件，或者不起诉，或者终止审理，或者宣告无罪：
在您所描述的情况下，如果犯罪嫌疑人在取保候审阶段死亡，那么根据法律规定，案件应当终止审理。这意味着案件不会进入审判阶段，更不会作出有罪判决。因此，犯罪嫌疑人不会留下案底。
四、特殊情况与注意事项
虽然犯罪嫌疑人在取保候审阶段死亡通常不会留下案底，但也有一些特殊情况需要注意。例如，如果犯罪嫌疑人在死亡前已经存在其他犯罪行为，且这些行为已经被司法机关立案侦查或起诉，那么这些案件可能会继续进行，并可能根据最终的处理结果留下案底。不过，这与您所描述的“犯盗窃罪取保候审阶段死亡”的情况并不直接相关。
五、建议与总结
面对这样的情况，虽然法律上已经给出了明确的处理方式，但如果您或您的家人对此仍有疑问或担忧，可以随时向我咨询。我会根据您的具体情况，提供更详细、更专业的法律意见和指导。
总结：犯盗窃罪在取保候审阶段死亡，根据法律规定，案件应当终止审理，犯罪嫌疑人不会留下案底。但如果您或您的家人对此仍有疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。