政府单位能否辞退有心理问题的员工，不能一概而论，需根据具体情况判断。以下从不同角度进行分析：
若员工心理问题不影响工作且未违反规章制度：
- 法律背景：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同需有合法理由，如员工严重违反规章制度、不能胜任工作等。若员工仅存在心理问题，但并未影响其正常工作，也未违反单位规章制度，则单位无权单方面解除劳动合同。
- 法律建议：在此情况下，政府单位应尊重员工的隐私权，不得因其心理问题而歧视或辞退。单位应提供必要的支持和帮助，如心理咨询、调整工作岗位等，以协助员工恢复健康。
若员工心理问题严重影响工作且无法胜任：
- 法律背景：若员工因心理问题导致无法胜任原工作，且经过培训或调整工作岗位后仍无法胜任的，单位可以依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，提前三十日以书面形式通知员工本人或额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。但需注意，单位需承担举证责任，证明员工确实无法胜任工作。
- 法律建议：在此情况下，政府单位应首先与员工进行沟通，了解其心理状况，并尝试提供必要的支持和帮助。若员工确实无法胜任工作，单位应按照法定程序解除劳动合同，并支付相应的经济补偿。
若员工心理问题导致严重违反规章制度：
- 法律背景：若员工因心理问题导致行为失控，严重违反单位规章制度，如旷工、打架斗殴等，单位可以依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，立即解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 法律建议：在此情况下，政府单位应确保规章制度明确、合法，并在解除劳动合同前收集充分的证据，以证明员工确实存在严重违反规章制度的行为。同时，单位应关注员工的心理健康状况，避免类似事件再次发生。
可能存在的法律后果：
- 若政府单位未经合法程序辞退有心理问题的员工，可能面临劳动仲裁或诉讼风险，需承担违法解除劳动合同的法律责任，包括支付赔偿金等。
- 若员工因心理问题导致单位遭受损失，单位在解除劳动合同的同时，可依法追究员工的赔偿责任。
总结与建议：
政府单位在处理有心理问题的员工时，应谨慎行事，遵循法律法规和规章制度，确保解除劳动合同的合法性和合理性。同时，单位应关注员工的心理健康状况，提供必要的支持和帮助，以构建和谐、稳定的劳动关系。若您在此方面遇到具体问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。