打人者可能承担的责任主要包括行政责任和刑事责任，具体取决于被打者的伤情鉴定结果。以下是对此问题的详细分析：

一、行政责任

如果被打者的伤情鉴定结果为轻微伤，那么打人者将可能面临行政处罚。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条的规定，殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。若存在结伙殴打、伤害他人，殴打、伤害残疾人、孕妇、不满十四周岁的人或者六十周岁以上的人，或者多次殴打、伤害他人或者一次殴打、伤害多人等情形，将面临更严厉的处罚，即十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上一千元以下罚款。

二、刑事责任

如果被打者的伤情鉴定结果为轻伤及以上，那么打人者将可能构成故意伤害罪，需要承担刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条的规定：

1. 轻伤：故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。
2. 重伤：致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑。
3. 死亡或特别残忍手段致重伤：致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。

三、其他可能的责任

1. 民事赔偿责任：无论打人者是否承担行政责任或刑事责任，其都需要对被打者进行民事赔偿，包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等。如果造成残疾的，还可以要求赔偿残疾赔偿金、残疾辅助器具费、被扶养人生活费等。
2. 逃跑行为的法律后果：打人者在打人后逃跑，这一行为本身并不直接增加其法律责任，但可能影响其自首情节的认定。如果打人者事后能够主动投案并如实供述自己的罪行，根据《中华人民共和国刑法》第六十七条的规定，可以从轻或者减轻处罚。如果打人者一直逃避法律制裁，那么在最终被抓获后，将可能面临更严厉的处罚。

建议：

• 如果您是被打者，应尽快报警并前往医院进行伤情鉴定，以便确定打人者的法律责任。
• 如果您是打人者或其家属，应尽快劝说打人者主动投案并如实供述自己的罪行，以争取从轻或减轻处罚。同时，也应积极与被打者协商赔偿事宜，以减轻法律后果。

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