当您面临公安机关可能利用刑事手段插手经济纠纷（这里经济纠纷可视为民事纠纷的一种特殊形式）的情况时，确实需要依法、有序地采取一系列措施来维护自己的合法权益，并确保公安机关依法行使职权。以下是我为您详细梳理的处理步骤及建议：
一、首要任务：收集证据
您需要收集足够的证据来证明公安机关可能存在违法动用刑事手段插手经济纠纷的行为。这些证据可以包括但不限于：与公安机关的通信记录、相关文件、证人证言、现场照片或视频等。这些证据将为您后续的维权行动提供有力的支持。
二、与公安机关沟通反映
提出书面异议：您可以以正式书面形式向具体承办案件的公安机关提出异议，详细说明您认为其插手经济纠纷的理由和依据，并要求其重新审查判断案件性质。
申请复核或申诉：如果您对公安机关的某些决定（如立案决定）有异议，可以按照法定程序向上级公安机关申请复核或申诉，陈述您的案件情况和观点。
三、寻求检察监督
申请立案监督：您可以向同级人民检察院控告申诉部门提出申请，提交相关材料，说明公安机关涉嫌违法插手经济纠纷的情况，请求检察院进行监督。如果检察院认为不应当立案而立案，它会要求公安机关撤销案件。
申请法律监督：对于公安机关在刑事办案过程中的其他违法行为，您也可以向检察院申请法律监督，检察院将依法进行调查处理。
四、向纪检监察机关举报
如果您发现公安机关工作人员存在违纪违法行为，如利用职权插手经济纠纷、谋取私利等，您可以向纪检监察机关进行举报。您可以通过书面举报信、拨打举报电话或使用网络举报平台等方式，详细说明违法违纪事实、案件情况及证据线索。
五、提起行政复议或行政诉讼
行政复议：如果您对公安机关因“刑事案件”采取的行政强制措施有异议，可以在规定期限内向上一级公安机关或同级人民政府提出行政复议申请，要求撤销或变更该措施。
行政诉讼：如果行政复议未能解决问题，或者您直接选择提起诉讼，您可以向有管辖权的人民法院提起行政诉讼，请求判定公安机关行为违法，并要求赔偿损失。
六、借助社会监督与舆论监督
在合法合规的前提下，您可以通过新闻媒体和网络平台反映情况，提供真实准确的案件信息和证据，借助舆论压力促使公安机关重视问题并依法处理。但请注意，您需要避免传播不实信息和违反法律法规的言论。
七、遵循“先刑后民”原则（如适用）
在经济纠纷审理过程中，如果发现涉及刑事犯罪，法院应裁定中止经济纠纷的审理，并将犯罪线索移送公安机关或检察机关处理。待刑事程序终结后，再恢复经济纠纷的审理并根据刑事判决结果作出相应裁决。但这一原则主要适用于法院审理阶段，且需确保刑事犯罪与经济纠纷确实存在关联。
总结与建议：
面对公安机关可能利用刑事手段插手经济纠纷的情况，您应保持冷静并依法采取行动。首先收集充分证据，然后与公安机关沟通反映问题；若沟通无果，则寻求检察监督和纪检监察机关的介入；必要时可提起行政复议或行政诉讼；同时也可借助社会和舆论监督力量。在整个过程中，请务必遵循法律法规和程序规定，确保自身行为的合法性和有效性。