结论前置：普通员工行贿的查办部门主要取决于行贿对象的身份及案件性质，一般可能由监察机关或公安机关负责查办，最终由检察机关审查起诉。
详细分析：
当行贿对象为国家工作人员时：
- 查办部门：监察机关（监察委员会）是主要的查办部门。
- 法律依据：根据《中华人民共和国监察法》，监察机关对涉嫌贪污贿赂等职务违法和职务犯罪具有调查职责。这包括了对国家工作人员行贿受贿等行为的调查。
- 查办流程：监察机关在发现或接到举报后，会依法进行初步核实，认为有犯罪事实需要追究刑事责任的，会立案调查，并可以采取留置等措施对涉案人员进行调查。
当行贿对象为非国家工作人员时（如公司、企业或其他单位的工作人员）：
- 查办部门：公安机关是主要的查办部门。
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》，公安机关负责刑事案件的侦查任务，包括非国家工作人员的行贿犯罪。
- 查办流程：公安机关在接到报案、控告、举报或自行发现犯罪线索后，会依法进行审查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任的，会立案侦查，并收集证据、查明事实，对犯罪嫌疑人进行调查和审讯。
检察机关的角色：
- 审查起诉：无论行贿对象是国家工作人员还是非国家工作人员，在监察机关或公安机关完成调查后，案件都会移送至检察机关。检察机关会审查案件材料，决定是否提起公诉。
- 特殊侦查权：对于司法工作人员利用职权实施的侵犯公民权利、损害司法公正的犯罪，以及经省级以上人民检察院决定立案侦查的重大犯罪案件，检察机关也行使侦查权。
实际司法过程中的考虑因素：
- 案件复杂性：复杂的行贿案件可能会涉及多个部门和地区的协作，管辖权限可能会根据具体情况进行适当调整。
- 行贿对象身份：行贿对象的身份是决定查办部门的关键因素之一。国家工作人员的行贿犯罪由监察机关查办，非国家工作人员的行贿犯罪则由公安机关查办。
- 案件性质：案件的性质，如是否涉及职务犯罪、是否涉及重大经济利益等，也可能影响查办部门的选择。
总结与建议：
普通员工行贿的查办部门并非固定不变，而是根据行贿对象的身份、案件性质以及相关法律规定来确定的。如果您或您身边的人涉及此类问题，建议积极配合相关部门的调查，并寻求专业法律帮助以维护自身合法权益。作为邓宏艳律师，我擅长处理刑事辩护、婚姻家庭、经济纠纷、劳动纠纷、合同纠纷、公司事务等领域的法律问题，如果您有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。