普通人员行贿犯罪案件主要由监察机关办理，特定情形下公安机关也可管辖。以下是对这一问题的详细分析：
一、监察机关的管辖
法律依据：
- 根据《中华人民共和国监察法》第十一条的规定，监察委员会负责对涉嫌贪污贿赂、滥用职权等职务违法和职务犯罪进行调查。行贿罪作为与公职人员职务行为紧密相关的犯罪，自然属于监察机关的管辖范围。
管辖范围：
- 监察机关主要管辖涉及公职人员的行贿案件，特别是那些为了谋取不正当利益而向公职人员行贿的行为。例如，企业为了获取政府工程招标项目而向相关主管部门的公职人员行贿，此类案件即由监察机关负责调查。
职责履行：
- 监察机关在调查行贿案件时，有权依法采取留置等措施，全面查清行贿事实，收集证据，为后续的司法程序提供有力支持。
二、公安机关的管辖
特定情形下的管辖：
- 虽然行贿罪主要由监察机关管辖，但在某些特定情形下，公安机关也可能对行贿案件进行侦查。这主要发生在行贿行为不涉及公职人员，或者虽然涉及公职人员但情节较轻，尚未达到职务犯罪的程度时。例如，对非国家工作人员行贿的案件，通常由公安机关管辖。
法律依据：
- 根据《公安部刑事案件管辖分工规定》，公安机关负责管辖普通刑事犯罪，包括部分行贿案件。这体现了“国家工作人员职务犯罪归监察机关，其他犯罪归公安机关”的原则。
三、综合判断与建议
案件性质决定管辖机关：
- 具体的管辖机关会根据行贿案件的性质、涉及的主体以及案件的严重程度等因素进行综合判断。如果行贿行为涉及公职人员且情节严重，构成职务犯罪，那么案件将由监察机关管辖；如果行贿行为不涉及公职人员或者情节较轻，那么案件可能由公安机关管辖。
咨询专业律师的重要性：
- 在处理行贿犯罪案件时，由于案件的复杂性和法律规定的细致性，建议涉案人员或其家属及时咨询专业律师。律师可以根据案件的具体情况，提供准确的法律意见和辩护策略，帮助涉案人员维护自己的合法权益。
法律后果的严肃性：
- 行贿犯罪是一种严重的违法行为，不仅会对个人声誉和职业生涯造成严重影响，还可能面临刑事处罚。因此，任何涉及行贿的行为都应该被严肃对待，并依法接受调查和处理。
如果您或您身边的人涉及行贿犯罪案件，或者有任何法律疑问和困惑，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况，提供专业的法律意见和帮助。