可以起诉司机，但更建议优先通过法律程序直接要求保险公司赔偿，若保险公司仍拒赔且司机存在过错，可同时起诉司机和保险公司。以下是具体分析：
- 保险公司拖延赔偿的应对
根据《保险法》第二十三条，保险公司收到赔偿请求后，应在30日内作出核定（特殊情况可延长，但需说明理由）。若核定后属于保险责任的，应在10日内履行赔偿义务。若保险公司无正当理由拖延，您可通过以下方式维权：
- 向银保监会投诉：拨打12378热线，监管部门会介入调查并督促保险公司处理；
- 申请仲裁或诉讼：若投诉无果，可直接向法院起诉保险公司，要求其履行赔偿义务，并可能主张逾期利息或违约金。
- 起诉司机的条件与逻辑
司机全责意味着其需承担侵权赔偿责任。若保险公司拒赔或赔偿不足（如未投保足额保险），您可同时起诉司机和保险公司：
- 保险公司未赔部分：由司机承担补充赔偿责任；
- 司机过错加重损失：如司机存在酒驾、逃逸等违法行为导致保险公司拒赔，司机需全额赔偿；
- 诉讼策略：建议将司机和保险公司列为共同被告，法院会先判保险公司赔偿，不足部分再由司机承担。
- 关键证据与流程
- 证据收集：交通事故认定书（证明司机全责）、保险单（证明投保情况）、医疗费用单据、维修发票等；
- 起诉流程：撰写起诉状→提交法院→立案→开庭审理→判决执行。若金额较小，可申请小额诉讼程序（一审终审，效率更高）。
行动建议：
- 先向保险公司发书面催告函，明确赔偿期限及法律后果；
- 若未果，立即向银保监会投诉并同步准备诉讼材料；
- 起诉时将司机和保险公司列为共同被告，最大化保障权益。
如有具体案件细节（如保险类型、损失金额等），可进一步向我咨询，我会帮您制定更精准的维权方案。