针对您提出的问题“全责方一直拖着不处理保险公司会起诉吗”，以下是我的详细解答：

首先，当遇到交通事故且您被认定为全责方，但对方一直拖着不处理时，您不必过于担心。在这种情况下，您应该主动与对方进行沟通，尝试通过书面或短信等方式提醒对方尽快处理，并保留好相关的沟通记录。

如果对方仍然不配合处理，您可以按照规定向自己的保险公司申请理赔。在申请理赔时，您需要提供责任认定书、车辆定损单、维修发票等相关证据。保险公司通常会在责任范围内先行赔付，并后续再向对方追讨相关费用。

至于保险公司是否会起诉全责方，这主要取决于具体的保险合同条款以及保险公司的政策。一般来说，保险公司会尽力通过协商或法律途径来追讨相关费用，以确保自身的权益。如果全责方一直拒绝履行赔偿义务，且协商无果，保险公司有可能会选择通过法律途径来解决问题，包括向法院提起诉讼。

然而，需要注意的是，起诉并不是解决问题的唯一途径，也不是最优先的选择。在处理此类纠纷时，保险公司通常会优先考虑通过协商、调解等更温和的方式来解决问题。因此，作为全责方，您应该积极配合保险公司的处理流程，尽快与对方协商解决赔偿事宜，以避免可能的法律纠纷。

总的来说，当遇到全责方一直拖着不处理的情况时，您应该主动与对方沟通、保留好相关证据，并向自己的保险公司申请理赔。保险公司会根据具体情况来采取相应的措施来追讨相关费用，包括可能的法律途径。但无论如何，作为当事人，您都应该积极配合并尽快解决赔偿事宜。