在起诉离婚后，如果被告以生病为由提出相关诉求或影响诉讼进程，处理方式需根据被告病情的严重程度及其对诉讼的具体影响来灵活决定。以下是对此类情况的综合法律见解，希望能为您提供清晰、详细的指导：

一、病情评估与诉讼影响

首先，需要对被告的病情进行全面评估，了解其是否确实影响到正常生活和诉讼活动的进行。如果病情较轻，不影响被告参与庭审、提交证据等诉讼活动，那么诉讼进程可以按计划进行。但如果病情较重，确实无法按时参与诉讼，那么就需要考虑相应的法律措施。

二、延期审理的申请

若被告因病情较重无法正常参与诉讼，根据《民事诉讼法》的相关规定，被告有权向法院申请延期审理。具体流程如下：

1. 提交申请：被告应尽快向法院提交书面的延期审理申请书，说明因病无法按时参加诉讼的原因。
2. 提供医疗证明：申请中需附带相关病历、诊断证明等医疗文件，以证实被告的病情及无法参与诉讼的事实。
3. 法院审查：法院将依据被告提供的材料和实际情况进行审查，并决定是否批准延期审理。

三、委托诉讼代理人

无论被告病情轻重，都可以选择委托诉讼代理人代为处理诉讼事务。代理人可以是律师、基层法律服务工作者，或是被告的近亲属、工作人员等。选定代理人后，被告需与其签订授权委托书，明确代理权限，以便代理人能够代为行使诉讼权利。

四、诉讼中止的考虑

在极端情况下，如果被告病情极其严重，甚至危及其生命，且预计短时间内无法恢复，那么可以考虑向法院申请诉讼中止。诉讼中止将暂时停止所有诉讼活动，待被告病情好转后再行恢复审理。但这一措施需要严格符合法律规定的条件，并经过法院的审查批准。

五、财产分割与抚养权问题的考量

在处理离婚纠纷时，除了关注被告的病情外，还需要特别考虑财产分割和子女抚养权等核心问题。如果被告因病无法工作或经济状况受到影响，那么在财产分割时可能需要给予适当的经济支持或调整分割比例。同时，子女抚养权的安排也应充分考虑被告的抚养能力和实际情况，确保子女的利益得到最大保障。

六、保持沟通与理解

在整个诉讼过程中，与对方当事人和法院保持良好的沟通至关重要。通过沟通，可以及时了解对方的意见和法院的立场，从而做出更有利的决策。同时，也有助于增进双方的理解，促进诉讼的顺利进行。如果被告因病提出合理诉求，原告也应给予理解和适当考虑，以体现人文关怀和法律温度。

综上所述，起诉离婚后被告以生病为由提出诉求或影响诉讼进程时，应综合考虑病情、诉讼阶段及实际情况等多个因素。通过灵活应用法律规定和诉讼程序，确保双方的合法权益得到充分保障。希望这些建议能对您有所帮助。