结论前置：51岁女性被公司辞退是否有补偿，主要取决于其是否已达到法定退休年龄、是否享受基本养老保险待遇，以及公司辞退行为的合法性。以下是具体分析：

一、已达到法定退休年龄且享受基本养老保险待遇

• 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第二十一条，劳动者达到法定退休年龄的，劳动合同终止。
• 情况说明：若51岁女性已达到法定退休年龄（女性工人一般为50周岁，但此处按用户问题中的51岁分析，若实际为工人身份且已享受养老待遇则按此处理；若为干部身份则退休年龄为55周岁，需另行判断），并且已经开始享受基本养老保险待遇，那么劳动合同将依法终止。此时，公司辞退该员工无需支付经济补偿金。

二、未达到法定退休年龄或未享受基本养老保险待遇

1. 违法解除劳动合同

   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条、第八十七条。
   • 情况说明：若公司无正当理由辞退员工，属于违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》第四十八条，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。赔偿金的计算方式为：赔偿金 = 工作年限 × 2 × 月工资（前12个月平均工资）。例如，若员工在公司工作了5年，月工资为6000元，则赔偿金为：5 × 2 × 6000 = 60000元。

2. 合法解除劳动合同

   • 法律依据：《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条、第四十七条。
   • 情况说明：若公司辞退行为合法，如双方协商一致解除劳动合同，或因员工严重违反公司规章制度等法定情形解除劳动合同，则公司需按工作年限支付经济补偿。经济补偿的计算方式为：经济补偿 = 工作年限 × 月工资（前12个月平均工资），六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。例如，若员工在公司工作了3年6个月，月工资为5000元，则经济补偿为：3.5 × 5000 = 17500元。

三、特殊情况说明

• 若女性员工虽达到51岁，但身份为干部，退休年龄为55周岁：此时若未达到退休年龄且未享受基本养老保险待遇，公司辞退她的补偿或赔偿问题，仍需根据上述违法解除或合法解除劳动合同的规定来判断。
• 若女性员工虽达到退休年龄，但未享受基本养老保险待遇，且非干部身份：劳动合同并不当然终止。此时公司辞退她，仍需根据辞退的合法性来判断是否需要支付经济补偿或赔偿金。

四、实际操作建议

• 保留证据：女性员工在面临被辞退时，应首先与公司沟通协商，并保留好所有与辞退相关的证据，如劳动合同、辞退通知书、工资单等。
• 寻求法律帮助：若协商无果，可向当地劳动监察部门投诉举报，或通过法律途径维护自己的合法权益。在此过程中，如有需要，可直接向我咨询相关法律问题。

综上所述，51岁女性被公司辞退是否有补偿，需综合考虑多种因素。在处理此类问题时，建议根据自身情况仔细审查相关证据和法律法规，以确保处理的准确性和合法性。