结论：在孩子有精神疾病且持有残疾证的情况下，若对方对孩子不管不顾，是否构成遗弃罪需根据具体情节判断，若情节恶劣则可能构成遗弃罪。以下从多个角度进行分析：

一、遗弃罪的构成要件

根据《中华人民共和国刑法》第二百六十一条的规定，遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。构成遗弃罪需满足以下要件：

1. 主体要件：行为人必须是负有扶养义务的人，如父母对未成年子女、成年子女对父母等。
2. 主观要件：行为人明知自己有扶养义务而拒绝扶养，具有故意的主观心态。
3. 客体要件：侵犯的客体是被扶养人在家庭中受扶养的权利。
4. 客观要件：表现为对年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，拒绝扶养，情节恶劣的行为。

二、具体情节分析

1. 扶养义务的存在：

   • 在孩子有精神疾病且持有残疾证的情况下，父母或其他法定监护人显然负有扶养义务。这种义务不仅包括提供基本的生活条件，如食物、住所，还包括必要的医疗照顾和精神关怀。

2. 拒绝扶养的行为：

   • 若对方对孩子不管不顾，不提供必要的生活和医疗条件，甚至拒绝支付相关费用，可以视为拒绝扶养的行为。

3. 情节恶劣的判断：

   • 情节恶劣是构成遗弃罪的关键要素。这通常包括但不限于：导致被扶养人身体严重受损、精神受到严重伤害、生活陷入极度困境等。在孩子有精神疾病的情况下，若因对方的拒绝扶养导致病情加重或出现其他严重后果，可视为情节恶劣。

三、法律建议

1. 收集证据：

   • 若您认为对方构成遗弃罪，首先应收集相关证据，如医疗记录、证人证言、照片或视频等，以证明对方拒绝扶养且情节恶劣。

2. 报警或起诉：

   • 在收集到足够证据后，您可以向公安机关报案或直接向人民法院提起刑事自诉，要求追究对方的刑事责任。

3. 寻求法律援助：

   • 在处理此类案件时，建议您寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。我可以为您提供专业的法律咨询和代理服务，帮助您更好地维护孩子的合法权益。

四、可能的法律后果

若对方被认定构成遗弃罪，根据《中华人民共和国刑法》第二百六十一条的规定，可处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。这将对对方产生严重的法律后果，同时也将为您的孩子提供必要的法律保护。

总结：在孩子有精神疾病且持有残疾证的情况下，若对方对孩子不管不顾且情节恶劣，可能构成遗弃罪。建议您收集相关证据并寻求专业律师的帮助，以维护孩子的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。