员工在休息期间死在出租屋内，公司是否应承担责任，需根据具体情况来判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
若员工死亡与工作无直接关联：
- 法律分析：根据一般法律原则，员工在休息期间，且非因工作原因导致的死亡，公司通常不承担法律责任。因为此时员工并非处于工作状态，其死亡与工作无直接因果关系。
- 举例说明：如员工因个人健康原因（如突发疾病）在出租屋内死亡，且该疾病与工作无关，那么公司无需承担责任。
若员工死亡与工作存在间接关联或公司存在过错：
- 法律分析：如果员工死亡虽非直接因工作原因，但与公司的工作环境、工作条件或公司管理存在间接关联，或者公司存在过错（如未提供必要的安全保障、未履行劳动保护义务等），则公司可能需要承担一定的法律责任。
- 具体情形：
- 工作环境或条件问题：如果员工因长期在恶劣的工作环境下工作，导致健康受损，进而在休息期间死亡，且该死亡与工作环境或条件存在因果关系，公司可能需要承担部分责任。
- 公司管理过错：如公司未按照法律规定为员工提供必要的劳动保护措施，或者未及时组织员工进行健康检查，导致员工健康问题未被及时发现和治疗，进而引发死亡，公司也可能需要承担责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动法》、《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规，公司有义务为员工提供安全、健康的工作环境，并履行劳动保护义务。若公司违反这些义务，导致员工受损，应承担相应的法律责任。
若员工死亡属于工伤范畴：
- 法律分析：虽然员工在休息期间死亡，但如果该死亡被认定为工伤（如员工在上下班途中发生非本人主要责任的交通事故等），则公司需按照工伤保险的相关规定承担赔偿责任。
- 工伤认定：工伤的认定需依据《工伤保险条例》等相关法律法规进行，通常需要考虑事故发生的时间、地点、原因以及员工与公司的劳动关系等因素。
建议与后续行动：
- 收集证据：若员工家属认为公司应承担责任，应首先收集相关证据，如员工的工作记录、健康检查报告、事故现场照片等，以证明员工死亡与公司存在关联或公司存在过错。
- 咨询专业律师：由于法律问题复杂多变，建议员工家属在处理此类问题时咨询专业律师，以便更准确地判断公司是否应承担责任，并维护自身合法权益。
总结：员工在休息期间死在出租屋内，公司是否应承担责任需根据具体情况判断。若死亡与工作无直接关联且公司无过错，则公司通常不承担责任；若存在间接关联或公司存在过错，则公司可能需要承担一定责任；若死亡被认定为工伤，则公司需按照工伤保险规定承担赔偿责任。如有任何疑问或需要进一步法律帮助，请直接向我咨询。