结论前置：信用卡欠款5000元，在一般情况下不太可能被银行直接起诉，但并非绝对没有可能。是否会被起诉，取决于多种因素，包括欠款时间、还款意愿、银行政策等。以下是对此问题的详细分析：
一、一般情况下的处理
催收手段：当信用卡欠款发生后，银行通常会首先通过短信、电话、邮件或书面通知等方式进行催收，这是银行追回欠款的首选方式，成本较低且效率较高。对于5000元的欠款，银行在初期更倾向于通过催收手段解决问题。
诉讼成本考虑：对于相对较小的欠款金额，银行在考虑诉讼成本（包括时间、人力、物力等）后，往往不会轻易选择起诉。因此，在一般情况下，欠信用卡5000元不会被发卡行直接起诉。
二、可能被起诉的情况
长期拖欠：如果持卡人经过多次催收后仍然长期拖欠不还，特别是逾期时间超过银行规定的期限（如三个月或更长），银行就拥有了起诉的权利。此时，即使欠款金额不大，银行也可能为了维护自身权益和规范信用卡使用秩序而选择起诉。
拒绝沟通与还款：若持卡人态度恶劣、完全拒绝沟通或毫无还款意愿和行动，银行为了维护自身权益，可能会选择通过法律途径追讨欠款。
恶意透支行为：根据《中华人民共和国刑法》第一百九十六条的规定，恶意透支信用卡且数额较大（虽然5000元一般不构成“数额较大”的标准，但长期恶意透支仍可能引发法律问题），经发卡银行催收后仍不归还的，可能构成信用卡诈骗罪。虽然这种情况较为极端，但持卡人仍需注意避免恶意透支行为。
三、法律后果
民事债务纠纷：信用卡逾期被起诉属于民事债务纠纷。法院会根据情况调解或判决，要求持卡人偿还欠款及可能产生的利息、滞纳金等费用。
强制执行措施：如果持卡人拒不执行法院的判决，银行可以申请强制执行，包括但不限于冻结账户、查封财产等措施。这将对持卡人的个人信用记录产生严重不良影响，还可能面临财产损失。
四、建议与应对策略
积极沟通：持卡人应尽快与银行取得联系，积极沟通还款事宜，表明自己的还款意愿和计划。这有助于避免银行采取更严厉的措施。
协商还款方案：如果确实存在还款困难，可以主动与银行协商，寻求个性化的还款方案，如分期还款、延期还款等。这有助于减轻还款压力并避免法律纠纷。
保持良好信用记录：持卡人应时刻关注自己的信用记录，避免逾期还款等不良行为的发生。良好的信用记录对于个人未来的金融活动至关重要。
总结：虽然欠信用卡5000元在一般情况下不太可能被直接起诉，但持卡人仍需高度重视并尽快处理欠款问题。通过与银行积极沟通和协商，制定合适的还款方案，是避免法律纠纷和信用损失的有效途径。如果您有任何法律疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。