核心结论：此情况需分不同主体责任及法律关系处理，一是狗主人可能需承担民事赔偿责任，二是父亲打死狗的行为可能涉及民事赔偿甚至行政或刑事责任，具体如下：

1. 狗主人可能承担的民事赔偿责任
   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条规定，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任；但是，能够证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的，可以不承担或者减轻责任。在本事件中，狗咬伤了小孩子，一般情况下狗主人作为饲养人或管理人需要承担民事赔偿责任，赔偿范围包括小孩子的医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入等。如果造成小孩子残疾的，还应当赔偿残疾生活辅助具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
   • 不过，如果能够证明是小孩子故意逗狗、挑衅狗等自身存在故意或者重大过失行为导致被咬，那么狗主人可以不承担或者减轻责任。例如小孩子用石头砸狗，狗出于自卫咬了小孩子，这种情况下狗主人的责任就会相应减轻。
2. 父亲打死狗可能涉及的责任
   • 民事赔偿责任：狗作为狗主人的财产，受到法律保护。父亲在气愤之下将狗打死，侵犯了狗主人的财产权，狗主人有权要求父亲承担民事赔偿责任，赔偿狗的价值损失。狗的价值需要根据实际情况来确定，比如购买价格、品种、市场价值等因素综合考量。如果狗是名贵品种且购买价格较高，父亲可能需要赔偿较多的费用；如果狗是普通品种且价值较低，赔偿金额也会相应较少。
   • 行政责任：如果父亲打死狗的行为情节较轻，没有造成严重后果，可能不会涉及刑事责任，但可能会受到行政处罚。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十九条规定，故意损毁公私财物的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款；情节较重的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处一千元以下罚款。具体是否会受到行政处罚以及处罚的轻重，需要根据打死狗的具体情节、造成的后果等因素由公安机关进行认定。
   • 刑事责任：在极少数情况下，如果父亲打死狗的行为情节严重，可能会构成故意毁坏财物罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百七十五条规定，故意毁坏公私财物，数额较大或者有其他严重情节的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；数额巨大或者有其他特别严重情节的，处三年以上七年以下有期徒刑。判断是否构成该罪，需要看毁坏财物的数额是否达到“数额较大”或者“数额巨大”的标准，以及是否存在其他严重情节。一般来说，数额较大通常是指毁坏财物价值达到5000元以上，但不同地区可能会根据经济发展水平等因素有所差异。如果父亲打死的狗价值达到这个标准，并且存在其他严重情节，就可能面临刑事处罚。

后续处理建议：建议双方先进行协商，就小孩子的赔偿和狗的损失赔偿问题达成一致。如果协商不成，可以通过向人民调解委员会申请调解或者向人民法院提起诉讼的方式解决纠纷。在处理过程中，要注意保留好相关证据，如小孩子受伤的照片、医疗费用单据、狗的价值证明等，以便在需要时维护自己的合法权益。