结论：刑事案件中不作为、不履行法定职责并造成重大损失的情形，在特定条件下可以适用《国家赔偿法》中的行政赔偿，但需严格区分行政机关与司法机关的行为性质及职责范围。以下从不同角度详细分析：

一、适用行政赔偿的前提条件

1. 行为主体需为行政机关
   根据《国家赔偿法》第四条，行政赔偿适用于行政机关及其工作人员在行使职权时侵犯公民、法人或其他组织合法权益的情形。若不作为的主体是公安机关（在履行行政职责时，如治安管理、户籍管理等）、市场监管部门等行政机关，且其不履行法定职责直接导致重大损失，则可能构成行政赔偿。
   示例：公安机关接到报警后未及时出警，导致报警人遭受人身伤害或财产损失，且损失与不作为存在直接因果关系，此时可申请行政赔偿。

2. 行为需属于行政职权范围
   若不作为行为属于行政机关的法定职责（如审批、监管、执法等），且因故意或重大过失未履行，导致公民、法人或其他组织权益受损，则符合行政赔偿的构成要件。
   关键点：需证明不作为与损失之间存在直接因果关系，且行政机关存在过错。

二、不适用行政赔偿的情形

1. 司法机关不作为
   若不作为的主体是检察院、法院等司法机关（如检察院未依法提起公诉、法院未及时审理案件），则不属于行政赔偿范围，而可能涉及司法赔偿。根据《国家赔偿法》第十七条，司法赔偿适用于刑事诉讼中司法机关及其工作人员侵犯人身权、财产权的情形，如错误拘留、错误逮捕、刑讯逼供等。
   示例：法院因拖延审理导致当事人错失诉讼时效，造成经济损失，此时应通过司法赔偿程序解决，而非行政赔偿。

2. 行为性质非行政职权
   若行政机关的行为超出其法定职权范围（如滥用职权、越权干预司法活动），或行为性质属于民事行为（如行政机关签订合同后违约），则不适用行政赔偿，而可能涉及民事赔偿或其他法律责任。

三、法律程序与举证责任

1. 申请行政赔偿的程序
   根据《国家赔偿法》第九条，赔偿请求人需先向赔偿义务机关（即不作为的行政机关）提出赔偿申请，若对赔偿决定不服，可向上一级机关申请复议，或直接向法院提起行政赔偿诉讼。
   流程要点：

   • 提交书面赔偿申请，说明请求事项、事实及理由；
     
   • 赔偿义务机关应在2个月内作出决定；
     
   • 逾期未决定或对决定不服的，可依法复议或诉讼。

2. 举证责任分配
   赔偿请求人需证明：

   • 行政机关存在不作为行为；
     
   • 自身合法权益受到损害；
     
   • 不作为与损害之间存在直接因果关系。
     行政机关若主张免责，需证明其已依法履行职责或损害由不可抗力、第三人行为等造成。

四、建议与风险提示

1. 明确行为主体与性质
   若遭遇不作为导致损失，首先需区分行为主体是行政机关还是司法机关，以及行为性质是行政职权还是司法职权，以确定正确的赔偿途径。

2. 及时固定证据
   保留报警记录、申请材料、沟通记录、损失证明等证据，以证明不作为事实及损失金额，避免因证据不足导致赔偿请求被驳回。

3. 咨询专业律师
   行政赔偿与司法赔偿的程序、标准及举证要求存在差异，建议直接向我咨询，以便根据具体案情制定维权策略。

如有进一步疑问或需具体案例分析，可直接向我提问。