即使孩子被判给父亲抚养，母亲仍然承担着重要的法律责任和义务，主要包括支付抚养费、行使探视权以及在某些情况下承担共同教育责任。以下是对这些责任和义务的详细解释：
支付抚养费：
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对子女有抚养教育的义务。即使子女由一方直接抚养，另一方仍然应当负担部分或者全部抚养费。抚养费的数额和支付方式通常由双方协商确定，协商不成的，由人民法院判决。
- 具体义务：母亲需要根据自己的经济状况和子女的实际需要，按时足额支付抚养费。抚养费一般包括子女的生活费、教育费、医疗费等必要费用。如果母亲不履行支付抚养费的义务，父亲有权向人民法院提起诉讼，要求母亲支付。
行使探视权：
- 法律依据：探视权是母亲作为非直接抚养方的一项重要权利，也是其履行对子女关爱和教育义务的一种方式。根据《民法典》的规定，不直接抚养子女的父或者母，有探望子女的权利，另一方有协助的义务。
- 具体义务：母亲有权在合理的时间内与子女见面、交流，了解子女的生活和学习情况，给予子女关爱和陪伴。父亲应当协助母亲行使探视权，不得无故阻挠或拒绝。如果父亲阻碍母亲行使探视权，母亲可以向人民法院提起诉讼，要求父亲履行协助义务。
共同教育责任：
- 法律依据与道德责任：虽然子女由父亲直接抚养，但母亲仍然对子女的教育负有共同责任。这不仅是法律上的要求，也是道德上的责任。父母双方应当共同关注子女的成长和发展，为子女提供良好的家庭环境和教育条件。
- 具体义务：母亲应当与父亲保持沟通，共同商讨子女的教育问题，如选择学校、参加课外活动等。母亲还可以通过电话、视频等方式与子女保持联系，了解子女的思想动态和学习情况，给予子女必要的指导和帮助。
特殊情况下的责任：
- 如果母亲因特殊原因（如严重疾病、经济困难等）无法直接履行上述义务，应当及时与父亲沟通，并寻求法律援助或社会支持。在特殊情况下，母亲的责任可能会得到一定的减轻或调整，但这并不意味着母亲可以完全免除对子女的责任和义务。
建议：
- 作为母亲，即使子女由父亲抚养，也应当积极履行自己的责任和义务，为子女的成长和发展贡献自己的力量。
- 如果遇到任何问题或困难，母亲可以与父亲协商解决，或者寻求法律援助和咨询，以维护自己的合法权益和子女的利益。
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