结论概述：环卫垃圾清运公司要求员工开公司专用车并签订承揽合同，这种安排下员工与公司之间的关系及离职问题，需根据合同具体内容、实际工作情况及法律规定来综合判断。以下从多个角度进行分析。

一、合同性质与劳动关系判断

1. 承揽合同与劳动关系的区别：

   • 承揽合同：根据《民法典》的相关规定，承揽合同是承揽人按照定作人的要求完成工作，交付工作成果，定作人支付报酬的合同。承揽人通常具有独立性，自行安排工作方式和时间，且自担风险。
   • 劳动关系：根据《劳动法》和《劳动合同法》的规定，劳动关系是指用人单位与劳动者之间，依法所确立的劳动过程中的权利义务关系。劳动者需遵守用人单位的规章制度，接受用人单位的管理，从事用人单位安排的工作，并由用人单位支付劳动报酬。

2. 判断标准：

   • 若员工虽签订承揽合同，但实际工作中受公司严格管理，需遵守公司规章制度，按时上下班，且工作方式、时间等均由公司决定，则更可能构成劳动关系。
   • 若员工在签订承揽合同后，具有较大的自主性，如自行安排工作时间、方式，且风险自担，则可能更符合承揽关系的特征。

二、签订承揽合同后的法律后果

1. 若构成劳动关系：

   • 公司应依法与员工签订劳动合同，缴纳社会保险，提供劳动保护等。
   • 员工享有劳动法规定的各项权利，如休息休假、获得劳动报酬、享受社会保险和福利等。
   • 离职时，员工应依法提前通知公司，并办理离职手续。若公司存在违法行为，员工可依法维权。

2. 若构成承揽关系：

   • 双方应按照承揽合同的约定履行义务，享受权利。
   • 承揽人（员工）在完成工作过程中造成自身损害的，除非定作人（公司）对定作、指示或者选任有过失，否则定作人不承担赔偿责任。
   • 离职时，双方应按照合同约定处理后续事宜，如工作成果的交付、报酬的支付等。

三、离职问题的处理

1. 若构成劳动关系：

   • 员工应依法提前三十日（试用期提前三日）以书面形式通知公司，可以解除劳动合同。
   • 若公司存在未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等违法行为，员工可以立即解除劳动合同，并有权要求公司支付经济补偿。

2. 若构成承揽关系：

   • 双方应按照承揽合同的约定处理离职事宜。若合同未约定或约定不明，双方应协商解决。
   • 若因公司原因导致承揽合同无法继续履行，承揽人（员工）有权要求公司承担违约责任或赔偿损失。

四、建议与风险提示

1. 对于员工：

   • 在签订承揽合同前，应仔细阅读合同条款，了解自己的权利和义务。
   • 若实际工作中更符合劳动关系的特征，可要求公司签订劳动合同，以保障自己的合法权益。
   • 离职时，应依法办理离职手续，并保留好相关证据，以备不时之需。

2. 对于公司：

   • 应明确与员工之间的关系性质，避免模糊处理导致法律风险。
   • 若确实需要与员工签订承揽合同，应确保合同内容合法、明确，且符合双方的实际需求。
   • 在员工离职时，应依法处理后续事宜，避免引发不必要的纠纷。

总结：环卫垃圾清运公司要求员工开公司专用车并签订承揽合同的情况下，员工与公司之间的关系需根据合同具体内容、实际工作情况及法律规定来综合判断。无论构成劳动关系还是承揽关系，双方都应依法履行义务、享受权利，并在离职时依法处理后续事宜。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。