核心结论：单位破产且档案被遗失，同时劳动局没有招工表存根的情况下，您可以通过以下途径来维护自身权益。
具体分析：
尝试从其他渠道获取招工表或相关证明
- 单位其他部门或人员：尽管单位已经破产，但可能仍有部分留守人员或清算组在处理后续事宜。您可以尝试联系他们，看是否能找到招工表或其他能证明您与单位存在劳动关系的材料，如工资单、工作证、考勤记录等。
- 银行流水：如果您有通过银行发放工资的记录，这些流水也可以作为证明您与单位存在劳动关系的间接证据。
- 同事证言：如果有同事愿意为您作证，证明您曾在该单位工作，这也是一种有效的证据。
向劳动局申请出具相关证明
- 劳动局档案查询：虽然劳动局没有招工表存根，但您可以尝试查询劳动局是否有其他关于您在该单位工作的记录或档案，如社保缴纳记录、劳动合同备案等。
- 申请出具证明：如果劳动局确实无法提供直接证据，但根据您的描述和提供的间接证据，能够认定您与单位存在劳动关系，您可以请求劳动局出具一份相关证明，以辅助您后续维权。
通过法律途径维护权益
- 提起劳动仲裁：在收集到一定证据后，您可以向当地劳动仲裁委员会提起劳动仲裁，要求确认您与单位之间的劳动关系，并主张因档案遗失而给您造成的损失赔偿。
- 提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，或者劳动仲裁委员会不予受理，您还可以向法院提起诉讼，通过司法程序来维护自己的合法权益。
关注单位破产清算程序
- 申报债权：在单位破产清算过程中，您作为债权人（如果因档案遗失而遭受损失）有权向清算组申报债权，要求赔偿。
- 参与债权人会议：您可以关注并参与单位破产清算过程中的债权人会议，了解清算进展，并表达您的诉求。
行动建议：
- 尽快行动：由于单位已经破产，时间拖得越久，相关证据可能越难收集，因此建议您尽快采取行动。
- 保留证据：在收集证据的过程中，一定要注意保留好所有相关材料，以备后续使用。
- 寻求专业帮助：如果您在处理过程中遇到困难或不确定如何操作，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。