结论：职工因病不能上班与公司协商解除劳动关系并拿到经济补偿金后，一般不可以再申请劳动能力鉴定，但存在特殊情况。以下为详细分析：

一、一般情况：协商解除劳动关系后不可再申请劳动能力鉴定

劳动能力鉴定通常是在职工发生工伤事故或患职业病后，为了确定其丧失劳动能力的程度而进行的鉴定。根据《工伤保险条例》的相关规定，劳动能力鉴定主要针对的是因工作原因受到事故伤害或患职业病的职工。在您描述的情况下，职工是因病不能上班，且已经与公司协商解除了劳动关系，并拿到了经济补偿金。这意味着双方已经就劳动关系解除及经济补偿事宜达成了协议，且该协议已经履行完毕。

在劳动关系已经解除的情况下，职工通常不再具备申请劳动能力鉴定的主体资格。因为劳动能力鉴定是与劳动关系紧密相关的，它旨在确定职工在劳动关系存续期间因工作原因导致的劳动能力丧失程度，以便确定相应的工伤保险待遇。既然劳动关系已经解除，那么职工就不再享受工伤保险待遇，也就无需再进行劳动能力鉴定。

二、特殊情况：若疾病与工作有关且未进行过劳动能力鉴定

然而，也存在一些特殊情况。如果职工所患的疾病与工作有关，且在劳动关系存续期间因病情严重而未能及时进行劳动能力鉴定，那么在解除劳动关系后，职工仍然有可能申请劳动能力鉴定。但这种情况需要满足一定的条件：

1. 疾病与工作有关：职工需要证明所患的疾病与工作有直接的因果关系，即因工作原因导致的疾病。
2. 未进行过劳动能力鉴定：在劳动关系存续期间，职工因病情严重或其他原因未能及时进行劳动能力鉴定。
3. 申请时限：即使满足上述条件，职工也需要在一定的时限内提出申请。具体时限可能因地区而异，需要参照当地的相关规定。

但即便满足这些条件，职工在解除劳动关系后申请劳动能力鉴定的难度也会相对较大。因为此时职工已经不再是公司的员工，公司可能不再愿意配合提供相关的医疗资料或证明。此外，劳动能力鉴定机构也可能对已经解除劳动关系的职工的申请持谨慎态度。

三、建议与风险提示

1. 了解当地规定：如果职工认为自己符合特殊情况的条件，想要申请劳动能力鉴定，建议先了解当地的相关规定和流程。
2. 收集证据：在申请前，职工需要收集充分的证据来证明所患的疾病与工作有关，且在劳动关系存续期间因病情严重而未能及时进行劳动能力鉴定。
3. 咨询专业律师：由于劳动能力鉴定涉及复杂的法律问题和程序，建议职工在申请前咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到保障。

最后，需要强调的是，劳动能力鉴定是一个严肃的法律程序，它关系到职工的切身利益。因此，在决定是否申请劳动能力鉴定时，职工需要谨慎考虑自己的实际情况和法律规定。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。