在被继承人债务清偿纠纷中，债权人向债务人的继承人主张还款责任时，举证责任的分配遵循“谁主张谁举证”的原则，债权人和继承人均需根据各自的主张承担相应的举证责任。以下是对这一问题的详细分析：
债权人的举证责任
债权债务关系的存在：
- 债权人需提供能够证明债权债务关系存在的证据，如借条、借款合同、欠条等书面凭证。这些证据应真实、合法，并与案件直接相关。例如，若债权人持有债务人生前出具的借条，且借条上明确记载了借款金额、日期等信息，这即可作为有力证据。
债务性质的确定：
- 若债务为被继承人的个人债务，债权人需证明该债务基于被继承人的个人行为产生，且未用于家庭共同生活。
- 若为夫妻共同债务，债权人则需证明债务发生在婚姻关系存续期间，并用于夫妻共同生活、共同生产经营或基于双方共同意思表示。
诉讼时效的遵守：
- 债权人需证明其主张债权的时间未超过法定诉讼时效期间。这可以通过催款记录、聊天记录、证人证言等证据加以证明。
继承人的举证责任
债务偿还情况：
- 如果继承人主张已偿还部分或全部债务，需提供还款凭证，如银行转账记录、收条等，以证明还款事实。
债务异议的提出：
- 继承人若对债务存在异议，认为债务不存在或已过诉讼时效，需提供相应证据支持自己的主张。例如，证明借条伪造或债权人长时间未主张权利等。
遗产范围与价值的确认：
- 继承人需对被继承人的遗产范围和价值进行举证，提供房产证、车辆行驶证、银行存款证明、股权证明等相关证据。这有助于确定遗产是否足以清偿债务。
特殊情况下的举证责任分配
事实真伪不明：
- 当案件中的某些事实真伪不明时，法院会根据公平原则、诚实信用原则及当事人的举证能力等因素，综合确定举证责任的承担。例如，若债权人无法提供充分证据证明债务存在，而继承人也无法提供充分证据证明债务已清偿或不存在，此时法院可能会根据双方举证能力的强弱来分配举证责任。
多个债权人主张债权：
- 在多个债权人主张债权的情况下，各债权人需分别对自己的债权进行举证。同时，针对继承人的抗辩理由，各债权人需进一步举证证明自己的债权合法有效。例如，若多个债权人均主张对同一遗产享有债权，则需各自提供证据证明自己的债权金额、性质及诉讼时效等。
其他注意事项
- 证据的真实性与合法性：提供的证据必须真实、合法，并与案件直接相关，才能被法院采纳。若证据存在瑕疵或伪造等情况，可能会导致举证失败。
- 法院调查取证与鉴定：在双方都无法提供足够证据时，可申请法院调查取证或聘请专业机构进行鉴定。例如，若对借条的真实性存在争议，可申请法院对借条进行笔迹鉴定。
- 继承法的相关规定：处理被继承人债务清偿纠纷时，还需考虑继承法的相关规定。如继承人是否接受遗产及债务、遗产价值是否足以清偿债务等。这些因素都可能影响举证责任的分配和案件的最终结果。
综上所述，在被继承人债务清偿纠纷中，债权人与继承人均需根据各自的主张承担相应的举证责任。为确保自身权益得到充分保护，建议你在遇到此类问题时，及时收集并整理相关证据，并向我咨询具体的法律意见。