在被继承人债务清偿纠纷案中，继承人主要承担以下诉讼举证义务：
证明已偿还部分或全部债务：
- 如果继承人主张已经偿还了被继承人的部分或全部债务，那么需要提供相应的还款凭证，如银行转账记录、收条等。这些证据应明确记载还款金额、时间、还款人等信息，以证明还款事实的真实性。例如，若继承人提供了银行转账记录，显示在被继承人去世后，继承人向债权人转账了特定金额，并备注为“还款”，这即可作为有力证据。
证明债务已过诉讼时效：
- 继承人若认为债务已超过法定诉讼时效期间，从而主张不应再承担清偿责任，那么需要提供证据证明债权人未在诉讼时效期间内主张权利。这可能包括证明最后一次主张权利的时间距离起诉时间已超过三年（根据《中华人民共和国民法典》关于诉讼时效的规定），或者提供其他能够证明诉讼时效已过的证据。
证明债务不存在或不应由自己承担：
- 继承人若对债务的存在或应由自己承担有异议，认为债务不存在或不应由自己承担，那么需要提供相应证据支持自己的主张。这可能包括指出借条伪造、合同无效等，并提供鉴定意见、证人证言等证据。例如，若继承人能够提供证据证明借条上的签名并非被继承人所签，或者借款合同存在无效情形，那么即可主张债务不存在或不应由自己承担。
- 特殊情形：若继承人主张放弃继承，不需对被继承人债务承担责任，应提供书面的放弃继承声明等合法有效的证据，且该声明需符合法律规定的形式和程序要求。
确定继承人身份和范围，以及遗产范围与价值的确认：
- 在某些情况下，继承人可能需要证明自己的合法继承人身份和范围，以及被继承人的遗产范围和价值。这可能包括提供户口本、亲属关系证明或遗嘱等文件，以明确合法继承人及其继承顺序和份额。同时，继承人还需对被继承人的遗产范围和价值进行举证，提供房产证、车辆行驶证、银行存款证明、股权证明等相关证据。例如，若继承人主张被继承人有某处房产作为遗产，那么需要提供房产证作为证据。
法律建议与注意事项：
- 证据的真实性与合法性：继承人提供的所有证据必须真实、合法，并与案件直接相关。伪造或篡改证据是违法行为，将受到法律的制裁。
- 举证期限：继承人应在人民法院指定的举证期限内提交证据材料。逾期提交可能视为放弃举证权利，从而影响案件的审理结果。
- 专业咨询：由于被继承人债务清偿纠纷案涉及复杂的法律关系和证据规则，建议继承人在诉讼过程中咨询专业律师的意见。律师能够提供专业的法律指导和策略建议，帮助继承人更好地维护自己的合法权益。
可能面临的法律后果：
- 如果继承人未能履行上述举证义务，或者提供的证据不足以支持其主张，那么可能面临败诉的风险。法院将根据双方提供的证据判定事实真相，并据此作出裁决。因此，继承人应充分重视举证责任，确保证据的充分性和有效性。
希望以上解答能够帮助您更好地理解在被继承人债务清偿纠纷案中继承人的诉讼举证义务。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。