结论：保安员上班期间驱赶流浪猫被抓伤，是否构成工伤需结合具体情况判断，但通常情况下可能构成工伤，具体分析如下：
一、构成工伤的情形
根据《工伤保险条例》第十四条的规定，职工有下列情形之一的，应当认定为工伤：
在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的：
- 分析：保安员在上班期间，其工作职责通常包括维护场所的安全和秩序。驱赶流浪猫可以视为履行工作职责的一部分，尤其是在流浪猫可能对场所安全或人员造成威胁的情况下。因此，如果保安员在驱赶流浪猫过程中被抓伤，可以认为是因工作原因受到事故伤害。
- 例子：假设某商场的保安员在巡逻时发现一只流浪猫在商场内徘徊，可能对顾客造成惊吓或伤害。保安员在尝试驱赶流浪猫时被抓伤，这种情况应视为工伤。
在工作时间和工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害的：
- 分析：虽然驱赶流浪猫可能不完全属于预备性或收尾性工作，但如果这一行为是保安员日常工作的一部分，或者是在工作开始前、结束后为了维护场所安全而进行的，也有可能被认定为工伤。不过，这种情况相对较为少见，更多还是依赖于“因工作原因”这一核心要素。
二、不构成工伤或需进一步证明的情形
非工作原因导致的伤害：
- 分析：如果保安员在驱赶流浪猫时并非出于工作目的，而是出于个人兴趣或好奇等非工作原因，那么这种伤害可能不被认定为工伤。但这种情况在实际中较为罕见，因为保安员通常不会在没有工作需要的情况下主动驱赶流浪猫。
故意或重大过失导致的伤害：
- 分析：如果保安员在驱赶流浪猫时存在故意或重大过失行为（如使用暴力手段导致自身受伤），那么这种伤害可能不被认定为工伤。但根据一般的工作原则和安全规范，保安员在驱赶流浪猫时应采取合理、安全的方式，因此这种情况也较为少见。
缺乏证据支持：
- 分析：在申请工伤认定时，需要提供充分的证据证明伤害是在工作时间、工作场所内因工作原因导致的。如果保安员无法提供足够的证据（如监控录像、证人证言等），那么工伤认定可能会受到一定影响。
三、建议与行动
- 及时报告与就医：保安员在受伤后应立即向用人单位报告，并尽快就医治疗。同时，保留好相关的医疗记录和费用单据，以便后续申请工伤认定和赔偿。
- 申请工伤认定：根据《工伤保险条例》的规定，用人单位应在事故伤害发生之日起30日内向社会保险行政部门提出工伤认定申请。如果用人单位未按时提出申请，保安员或其近亲属、工会组织可以在事故伤害发生之日起1年内直接提出申请。
- 寻求法律帮助：如果在工伤认定或赔偿过程中遇到困难或争议，建议保安员及时咨询专业律师（如我），以便更好地维护自己的合法权益。
总结：保安员上班期间驱赶流浪猫被抓伤，在大多数情况下可能构成工伤。但具体是否构成工伤还需结合实际情况和证据进行判断。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。