被起诉方确实有权再起诉他人，但具体能否起诉及起诉的条件需根据案件性质和法律规定来判断。以下从民事诉讼和刑事诉讼两个角度，为你详细分析：
民事诉讼角度
反诉情形
- 法律依据：根据《中华人民共和国民事诉讼法》第五十四条，被告在民事诉讼中有权提起反诉。
- 具体解释与应用：反诉是被告针对原告提出的、与本诉有牵连的独立请求。其目的在于通过合并审理，提高司法效率，全面解决纠纷。例如，若原告起诉被告支付货款，被告可因货物质量问题提起反诉，要求原告赔偿损失。这种情况下，被告虽然是被起诉方，但仍然有权提起反诉。
另行起诉情形
- 法律依据：依据《中华人民共和国民事诉讼法》第一百二十七条，只要不违反“一事不再理”原则，当事人有另行起诉的权利。
- 具体解释与应用：另行起诉是针对与本诉无关的其他法律关系或事实提起的新诉讼。这要求新诉与在审案件不属于“当事人相同、诉讼标的相同、诉讼请求实质否定前诉结果”的情形，否则可能构成重复起诉而被驳回。例如，甲起诉乙偿还借款时，乙若发现甲曾侵犯其名誉权，可就此另行起诉甲。这种情况下，乙作为被起诉方，仍然有权就其他法律关系另行起诉。
注意事项
- 起诉条件：无论是反诉还是另行起诉，都必须符合法律的起诉条件，包括明确的诉讼主体、具体的诉讼请求和事实、理由等。
- 一事不再理：需避免基于同一事实和理由对已经起诉的当事人进行重复诉讼，这通常会在原有的诉讼程序中处理。
刑事诉讼角度
公诉案件
- 在刑事诉讼中，公诉案件由检察机关代表国家提起公诉，个人通常不能直接提起（自诉案件除外）。因此，作为被起诉方的被告人，在公诉案件中一般不能直接对他人提起刑事诉讼。
自诉案件
- 对于自诉案件，如侮辱、诽谤等轻微刑事案件，被害人有权直接向人民法院提起自诉。但这种情况下的“再起诉”并非指被告人对他人提起诉讼，而是指被害人作为自诉人提起诉讼。
刑事案件的再审
- 刑事案件一旦经过法院判决，除非有法律规定的特别情形，如新的证据证明原判决错误，否则一般不能再次起诉。但被告人可以通过上诉程序（判决书送达15日内）或再审申请（发现新证据、程序违法等法定事由）来维护自己的权益。
总结与建议：
- 作为被起诉方，在民事诉讼中你有权根据法律规定提起反诉或另行起诉他人，但需满足相应的法律条件和程序要求。
- 在刑事诉讼中，你一般不能直接对他人提起诉讼，但可以通过上诉或再审申请来维护自己的权益。
- 如果你面临具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。