结论：外祖父的犯罪记录通常不会直接影响您母亲或您本人的当兵政审，但具体还需根据政审岗位的要求和实际情况来判断。以下是对此问题的详细分析：
政审的一般原则与范围：
- 政审，即政治审查，是对应征者及其直系亲属的政治素质和道德品行进行的审查。其目的在于确保应征者及其家庭背景符合特定岗位的政治要求。
- 政审的范围通常包括应征者本人及其直系亲属，如父母、配偶、子女等。然而，是否扩展到三代以内近亲属（如外祖父、外祖母）则取决于具体岗位的要求和政策规定。
外祖父犯罪记录对政审的影响：
- 在一般情况下，外祖父的犯罪记录不会直接影响您母亲或您本人的政审结果，因为外祖父不属于直系亲属的范畴（直系亲属通常指的是父母、配偶、子女）。
- 但是，如果政审岗位有特殊要求，或者政策规定将审查范围扩展到三代以内近亲属，那么外祖父的犯罪记录就可能成为政审的考量因素之一。不过，这种情况相对较少见，且具体政策会因地区和岗位而异。
不同岗位政审要求的差异：
- 不同的岗位对政审的要求可能存在差异。例如，一些特殊岗位（如警察、监狱等）可能对政审有更为严格的要求，包括审查三代以内近亲属的犯罪记录。
- 对于当兵这一岗位而言，政审要求通常较为严格，但具体是否审查外祖父的犯罪记录还需根据当地的征兵政策和规定来确定。
实际操作中的建议：
- 如果您或您母亲有意向当兵，并担心外祖父的犯罪记录可能影响政审结果，建议提前了解当地的征兵政策和规定，特别是关于政审范围和要求的部分。
- 您也可以咨询当地的征兵办公室或相关部门，以获取更准确和具体的信息。他们可以根据您的实际情况和当地政策，为您提供有针对性的指导和建议。
法律背景与依据：
- 政审的具体标准和要求通常由相关政策文件或招聘公告明确规定，而非直接由法律条文规定。因此，在解答此类问题时，需要参考具体的政策文件或招聘公告。
- 在实际操作中，政审的严格程度和范围可能因地区、岗位以及相关政策的不同而有所差异。因此，无法给出一个统一的答案来适用于所有情况。
可能的后遗症与风险：
- 如果政审岗位确实要求审查三代以内近亲属的犯罪记录，且外祖父的犯罪记录被查出，那么这可能对您或您母亲的政审结果产生不利影响。然而，这种情况相对较少见，且具体政策会因地区和岗位而异。
- 为了避免潜在的风险和后遗症，建议您提前了解并遵守当地的征兵政策和规定，确保自己符合政审的要求和标准。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。