在私人雇佣关系中，受雇人死亡，其家属或继承人可能获得的赔偿主要依据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的相关规定。以下是对此问题的详细分析：

一、赔偿类型及法律依据

1. 死亡赔偿金：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条，侵害他人造成死亡的，应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。死亡赔偿金按照受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入或者农村居民人均纯收入标准，按二十年计算。但六十周岁以上的，年龄每增加一岁减少一年；七十五周岁以上的，按五年计算。
   • 说明：死亡赔偿金是对受害人因死亡导致的未来收入损失的补偿，其计算标准通常与受害人的年龄、收入状况及当地经济发展水平相关。

2. 丧葬费：

   • 法律依据：同样依据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条，丧葬费是赔偿义务人因受害人死亡而需承担的合理费用，包括运尸费、火化费、骨灰盒费、骨灰存放费等。
   • 说明：丧葬费的具体数额通常根据当地的实际丧葬费用标准来确定。

3. 被扶养人生活费：

   • 法律依据：若受害人有被扶养人（如未成年子女、无劳动能力的父母等），根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条，赔偿义务人还需支付被扶养人生活费。被扶养人生活费根据扶养人丧失劳动能力程度，按照受诉法院所在地上一年度城镇居民人均消费性支出和农村居民人均年生活消费支出标准计算。
   • 说明：被扶养人生活费的计算需考虑被扶养人的年龄、扶养人的人数及当地的生活消费水平。

4. 精神损害抚慰金：

   • 法律依据：虽然《中华人民共和国民法典》未直接规定私人雇佣关系中的精神损害抚慰金，但根据侵权责任的一般原则，若受害人的死亡给其家属造成了严重的精神损害，家属有权要求赔偿义务人支付精神损害抚慰金。
   • 说明：精神损害抚慰金的数额通常根据受害人的死亡给家属造成的精神痛苦程度、当地的经济生活水平及赔偿义务人的过错程度等因素来确定。

二、特殊情况说明

• 若雇佣关系存在过错：如果雇主在雇佣过程中存在过错（如未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训等），导致受雇人死亡，雇主可能需承担更大的赔偿责任。
• 若受雇人自身存在过错：如果受雇人自身存在过错（如违反操作规程、未佩戴安全防护装备等），导致自身死亡，可能会减轻雇主的赔偿责任。但具体减轻的比例需根据案件的具体情况来确定。

三、建议与行动

• 收集证据：在寻求赔偿前，家属应尽可能收集与受雇人死亡相关的证据，如工作记录、现场照片、医疗记录等，以证明雇佣关系的存在及受雇人死亡的原因。
• 协商与调解：在证据充分的情况下，家属可以尝试与雇主进行协商或调解，以达成赔偿协议。
• 法律途径：如果协商或调解无果，家属可以向人民法院提起诉讼，要求雇主承担赔偿责任。

若您在私人雇佣关系中遇到受雇人死亡的情况，并需要进一步的法律帮助或咨询，请直接向我提问。我会根据您的具体情况，提供更详细的法律建议和指导。