结论：孩子手机在游乐场弄丢，老板是否有责任需分情况讨论，主要取决于老板是否存在过错以及过错与手机丢失之间的因果关系。
分析如下：
老板无过错的情况：
- 如果游乐场老板已经尽到了合理的安全保障义务，例如设置了明显的警示标识、安排了足够的工作人员进行巡查、提供了安全的游玩环境等，且手机丢失是由于孩子自身疏忽（如未妥善保管、自行放置后忘记等）或第三人故意行为（如盗窃）导致的，那么老板通常不承担赔偿责任。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。但在此情况下，若老板已尽到安全保障义务，则不构成侵权。
老板存在过错的情况：
- 如果游乐场老板未尽到合理的安全保障义务，例如游乐场内存在安全隐患（如地面湿滑、设施损坏等）、工作人员疏于管理（如未及时发现并制止盗窃行为等），导致孩子手机丢失，那么老板可能需要承担相应的赔偿责任。
- 赔偿范围：赔偿范围通常限于手机的实际价值，即根据手机的购买价格、使用年限、折旧情况等因素综合确定。如果手机内有重要数据或信息，且因丢失导致数据无法恢复，造成额外损失的，老板也可能需要承担相应的赔偿责任，但这一部分的赔偿需要具体证据支持。
- 法律依据：同样根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条，若老板未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。
建议：
- 如果孩子手机在游乐场丢失，首先尝试与游乐场老板协商解决，看是否能够达成赔偿协议。
- 如果协商无果，可以收集相关证据（如监控录像、证人证言、手机购买凭证等），向当地消费者协会或相关部门投诉，或者通过法律途径解决纠纷。
- 在日常游玩过程中，家长也应提醒孩子妥善保管好个人财物，避免类似情况的发生。
如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。